嘿，咱们一步步来梳理你的问题，把每个点都讲清楚：

当然有！先明确一个关键关联：余子式矩阵转置后就是伴随矩阵（adjugate matrix），所以计算余子式矩阵等价于先算伴随矩阵再转置，这个转换是O(n²)的，完全不影响整体时间复杂度。

对于可逆矩阵，我们常用公式：伴随矩阵 = det(A) × A⁻¹。求矩阵逆、计算行列式的经典算法（比如LU分解、高斯消元）都是O(n³)时间，所以整个过程可以稳定做到O(n³)，是非常高效的路径。

那不可逆矩阵的情况呢？这就对应你的第二个问题了。

当矩阵不可逆时，det(A)=0，这时候det(A)×A⁻¹这个公式直接失效——毕竟逆矩阵根本不存在。但余子式矩阵的定义本身和矩阵是否可逆无关，它是由每个元素对应的n-1阶子式的行列式（带符号）组成的矩阵，肯定能算，关键是怎么高效算：

• 先判断矩阵的秩：
  • 如果矩阵的秩r < n-1：根据线性代数性质，此时所有n-1阶子式的行列式都是0，余子式矩阵直接是零矩阵，秩的计算是O(n³)；
  • 如果矩阵的秩r = n-1：伴随矩阵的秩为1，意味着余子式矩阵的秩也是1（转置不改变秩）。这时候我们只需要找到一个非零的n-1阶子式，再利用伴随矩阵的性质构造出整个矩阵，这个过程也能控制在O(n³)时间内。

先把原句拎出来看：

‘这可能意味着对于不可逆矩阵，也存在某种巧妙的方法计算余子式（即不使用上述数学公式，而是采用其他等价定义）’

这里的“上述数学公式”指的就是伴随矩阵=det(A)×A⁻¹——这个公式只适用于可逆矩阵，不可逆时完全用不了。而“其他等价定义”，其实就是绕开逆矩阵，回到余子式/伴随矩阵的本质代数定义，但用更聪明的方法计算，而不是暴力地逐个计算n²个n-1阶行列式（那是O(n⁴)的低效方法）。

比如刚才说的利用矩阵秩的性质快速判断余子式矩阵是否为零矩阵，或者在秩为n-1时通过非零子式构造整个矩阵，这些方法都不需要依赖逆矩阵，而是基于线性代数中余子式的深层性质，从而实现O(n³)的高效计算，这就是那句话想表达的“巧妙方法”。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ZUN LI