嘿，我看到你在复现这个PCA相关的流程时遇到了两个关键疑问，咱们一步步来拆解清楚：

第一个疑问：是否该直接用prcomp()的sdev，以及是否需要缩放数据？ #

首先要指出你当前代码里的一个关键误区：不要把协方差矩阵直接传给prcomp()！prcomp()的设计逻辑是直接接收原始数据集，它会自动帮你计算协方差矩阵（当设置scale.=FALSE时）。你现在传入covar.df（协方差矩阵），相当于对协方差矩阵本身做PCA，这和对原始坐标数据做PCA的结果完全不是一回事。

关于缩放的问题：如果你的x和y已经处于同一尺度（比如都是相同量级的数值、同一单位），确实不需要开启scale.=TRUE。使用prcomp(df, scale. = FALSE)会基于原始数据的协方差矩阵计算PCA，此时输出的sdev正好就是你需要的主成分方向的标准差——因为sdev的本质就是特征值的平方根（pca.results$sdev^2就是对应特征值λ₁、λ₂），完全符合原流程里σ₁和σ₂的定义。

第二个疑问：如何提取对应方向的标准差？ #

首先要明确：你要的不是原始x/y坐标轴方向的标准差（那个直接用sd(df$x)和sd(df$y)就能得到），而是PCA主成分方向的标准差，也就是prcomp()输出的sdev向量里的两个值：

• pca.results$sdev[1]：第一主成分方向的标准差σ₁（对应方差最大的方向，即特征值λ₁的平方根）
• pca.results$sdev[2]：第二主成分方向的标准差σ₂（对应与第一主成分正交的方向，即特征值λ₂的平方根）

要绘制原流程里的正交线段，你还需要结合pca.results$rotation（也就是特征向量u和v），以及数据的均值colMeans(df)来计算线段的端点。

修正后的完整复现代码 #

# 可复现数据
set.seed(1)
x <- rnorm(10, 50, 4)
y <- rnorm(10, 50, 7)
df <- data.frame(x, y)

# 正确的PCA：直接对原始数据执行，scale=FALSE因为数据尺度一致
pca.results <- prcomp(df, scale. = FALSE)

# 提取流程所需的核心变量
mean_coords <- colMeans(df)  # 坐标数据的均值中心
pc_sdev <- pca.results$sdev  # 主成分方向的标准差σ₁和σ₂
pc_vectors <- pca.results$rotation  # 主成分对应的特征向量u和v

# 验证：sdev的平方等于协方差矩阵的特征值，确保逻辑正确
cov_matrix <- cov(df)
eigen_values <- eigen(cov_matrix)$values
all.equal(pc_sdev^2, eigen_values)  # 应返回TRUE，说明计算一致

# 绘制符合原流程要求的图形
plot(df, main = "PCA主成分方向与标准差线段", pch = 16, col = "steelblue")
points(mean_coords[1], mean_coords[2], pch = 19, col = "red", cex = 1.2)

# 绘制第一主成分线段（长度为1个σ₁）
segments(
  mean_coords[1] - pc_sdev[1] * pc_vectors[1,1],
  mean_coords[2] - pc_sdev[1] * pc_vectors[2,1],
  mean_coords[1] + pc_sdev[1] * pc_vectors[1,1],
  mean_coords[2] + pc_sdev[1] * pc_vectors[2,1],
  col = "darkorange", lwd = 2
)

# 绘制第二主成分线段（长度为1个σ₂）
segments(
  mean_coords[1] - pc_sdev[2] * pc_vectors[1,2],
  mean_coords[2] - pc_sdev[2] * pc_vectors[2,2],
  mean_coords[1] + pc_sdev[2] * pc_vectors[1,2],
  mean_coords[2] + pc_sdev[2] * pc_vectors[2,2],
  col = "forestgreen", lwd = 2
)

额外补充 #

• 如果误开启了scale.=TRUE，prcomp()会基于相关矩阵计算PCA，此时sdev就不是原流程要求的基于协方差的标准差了，所以一定要注意这个参数的设置。
• 原流程里“对协方差矩阵应用PCA”的操作，其实完全等价于对原始数据执行prcomp(scale.=FALSE)，因为prcomp底层就是通过协方差矩阵的特征分解来实现PCA的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jack Armstrong