嘿，我完全理解你的困惑——很多人刚开始都会觉得指数函数增长最快，但阶乘的增长速度其实是远超普通指数函数的，更别说这里的(n²)!和(n!)ⁿ这种“加强版”阶乘了！咱们一步步拆解，用数学方法证明它们的增长率排序：

核心思路：用对数+斯特林公式简化比较 #

对于大n的增长率比较，直接看函数值很容易晕，取对数后会把乘积/幂运算转化为加法/乘法，再结合斯特林公式（近似阶乘的对数）就清晰多了：

斯特林公式：$\ln(n!) \approx n\ln n - n$（当n→∞时，误差项是$O(\ln n)$，可以忽略不计）

1. 先比5ⁿ和(n!)ⁿ #

先取两者的自然对数：

• $\ln(5ⁿ) = n\ln5$（这是一个线性增长的对数项）
• $\ln((n!)ⁿ) = n \cdot \ln(n!) \approx n(n\ln n - n) = n²\ln n - n²$（这是二次项主导的增长）

当n趋向无穷大时，$n²\ln n$的增长速度远远超过$n\ln5$——你可以这么想：随便取一个大n，比如n=10，$\ln(5^{{10})≈10*1.61≈16.1$，而$\ln((10!)}{10})≈10*(102.30-10)=10(23-10)=130$，差距已经很大；n越大，这个差距会爆炸式扩大。

结论：(n!)ⁿ的增长速度远快于5ⁿ。

2. 再比(n!)ⁿ和(n²)! #

同样用对数+斯特林公式：

• $\ln((n!)ⁿ)≈n²\ln n - n²$（刚才已经算过）
• $\ln((n²)!)≈n²\ln(n²) - n² = 2n²\ln n - n²$（把斯特林公式里的n换成n²）

现在看两者的对数差：
$\ln((n²)!) - \ln((n!)ⁿ) ≈ (2n²\ln n -n²) - (n²\ln n -n²) = n²\ln n$

当n→∞时，这个差值趋向无穷大，说明(n²)!的对数增长比(n!)ⁿ快得多，自然函数值的增长也更快。

最终增长率排序（从慢到快） #

5ⁿ < (n!)ⁿ < (n²)!

你看到图像里(n²)!更大完全合理——它的增长速度是这三个里最夸张的，普通指数函数在它面前根本不值一提～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sess