嘿，我明白你为啥会困惑了——这个问题看起来像是常规排列组合，但其实是可重复组合的经典应用，咱们一步步理清楚：

问题本质转化 #

首先换个角度看问题：一个长度为M的非递增数组，元素取值在[K,N]之间，其实等价于从(K, K+1, ..., N)这n = N - K + 1个元素里，可重复地选出M个元素，再把它们按降序排列。不管你选出来的元素是什么组合，只要按从大到小排，就对应唯一的非递增数组（比如选两个5就是[5,5]，选5和4就是[5,4]，完全匹配你给出的例子）。

可重复组合的计算公式 #

这种允许重复选择的组合问题，对应的公式是：

C(n + M - 1, M)

或者利用组合数的对称性（C(a,b)=C(a,a-b)），也可以写成：

C(n + M - 1, n - 1)

这里的n是可选元素的总数（即N-K+1），M是数组的长度。

代入你的例子验证 #

你的例子里：M=2，N=5，K=2，所以n = 5-2+1=4。代入公式计算：

C(4 + 2 - 1, 2) = C(5,2) = 10

结果正好和你列出的10种情况完全一致！

为什么你之前的尝试可能出错？ #

大概率是混淆了普通不可重复组合和可重复组合的公式：普通的C(n,M)是不允许重复选元素的场景（比如从4个元素里选2个不同的），但咱们的问题允许元素重复（比如[5,5]这种情况），所以必须用可重复组合的公式。

另一种思路：隔板法验证 #

我们还可以用隔板法来理解：假设用x_1表示数组中等于K的元素个数，x_2表示等于K+1的元素个数，……，x_n表示等于N的元素个数，那么需要满足：

x_1 + x_2 + ... + x_n = M

其中每个x_i ≥ 0（可以选0个某个元素）。这个方程的非负整数解的数量，就是隔板法的经典结果：C(M + n - 1, n - 1)，和咱们之前的公式完全一致。

比如你的例子里，方程是x1+x2+x3+x4=2（x1对应2的个数，x2对应3，x3对应4，x4对应5），解的数量是C(2+4-1,4-1)=C(5,3)=10，结果相同。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sheetaldharerao