1. 如何计算指定类型表达式的相对精度与绝对精度？ #

要计算表达式的绝对精度和相对精度，核心是拿计算值和真实参考值做对比，步骤大概是这样：

• 第一步：先确定表达式的「真实值」——用比目标类型精度更高的类型（比如要算float的精度，就用long double来计算表达式的准确结果）作为参考基准，因为更高精度的类型能最大限度减少自身误差，接近数学上的真实结果。
• 第二步：用目标类型（比如float/double）计算表达式的「实际计算值」。
• 第三步：计算绝对误差：|计算值 - 真实值|，这个值直接反映计算结果和真实值的绝对差距，就是绝对精度的量化指标。
• 第四步：计算相对误差：如果真实值不等于0，就用绝对误差 / |真实值|，这个值是误差相对于真实值的比例，更适合衡量大数的精度。如果真实值接近0，相对误差会失去意义，这时候只看绝对误差就好。

举个简单例子：比如用float计算(1000000 + 1)/2，真实值是500000.5，float计算出来可能是500000，那绝对误差就是0.5，相对误差就是0.5 / 500000.5 ≈ 1e-6。

2. 对比float与double类型时，表达式(x+y)/k的相对精度与绝对精度？ #

先得明确float和double的基础差异：float是单精度32位浮点型，尾数占23位，有效数字大概6-7位；double是双精度64位，尾数占52位，有效数字大概15-17位。两者的机器epsilon（能表示的最小相对误差）分别是_{1.19e-7（float）和}2.22e-16（double）。

回到表达式(x+y)/k，误差主要来自两个环节：

1. x+y的加法误差：如果x和y的数值差距很大（比如x是1e6，y是1），float会出现「大数吃小数」的情况——y的数值会被x的精度覆盖，加出来的结果还是x；但double因为尾数位数多，能保留y的有效信息，加法误差极小。
2. 除以k的误差：除法的相对误差大概是机器epsilon的量级，double的这个值远小于float。

对比两者的精度：

• 绝对精度：double的绝对误差普遍远小于float。比如刚才的例子，float算出来绝对误差0.5，double算出来几乎是0。即使是普通数值，double能表示的小数位数更多，绝对差距更小。
• 相对精度：double的相对误差上限（_{1e-16）比float（}1e-7）小几个数量级，所以不管是加法还是除法，double的相对精度都碾压float。比如计算很大的数时，float的相对误差可能到1e-6级别，而double的相对误差几乎可以忽略不计。

3. 哪种类型能满足表达式的相对公差1e-05、绝对公差1e-08？ #

先拆解两个公差的要求：

• 相对公差1e-05：要求计算结果的相对误差≤1e-5；
• 绝对公差1e-08：要求计算结果的绝对误差≤1e-08。

先看float：
float的机器epsilon是~1.19e-7，远小于1e-5，哪怕是多次运算累积误差，也很难超过1e-5的相对公差。对于绝对公差，当计算结果的绝对值比较大时（比如≥1e-3），相对误差1e-5对应的绝对误差是1e-5 * |结果|，这时候可能会超过1e-08，但此时相对误差满足要求；当结果绝对值很小（比如<1e-3），float的绝对误差会远小于1e-08（比如结果是1e-4，绝对误差大概是1e-4 * 1e-7=1e-11），完全符合绝对公差。

再看double：
double的精度比float高得多，自然也能轻松满足这两个公差要求，甚至有很大的余量，适合更复杂的运算场景或者对精度要求更高的后续处理。

总结：float已经能满足这两个公差要求，如果只是针对这个简单表达式，用float足够；但如果你的场景还有其他复杂运算、更大的数值范围或者需要更高的冗余精度，double会是更稳妥的选择。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Yas