问题1：从3×3总体协方差矩阵提取的2×2矩阵能否进行PCA分析？ #

当然可以！PCA的核心要求是输入的协方差矩阵为半正定矩阵——而从合法的总体协方差矩阵（本身就是半正定/正定的）中提取的2×2主子式（比如取任意两个变量对应的子矩阵），必然也是半正定的，完全满足PCA的数学前提。

不过要明确：这个PCA是针对原3维数据中被选中的两个变量的降维分析，最终得到的主成分仅和这两个变量的协方差结构有关，与第三个变量无关。

问题2：若要获取原3×3矩阵对应数据的前两个主成分PC1和PC2，能否用指定的2×2矩阵计算特征向量？ #

绝对不行。原3维数据的主成分（PC1、PC2）是基于三个变量之间的全部协方差关系计算出的线性组合——它们不仅依赖于你选中的两个变量的协方差，还依赖于这两个变量与第三个变量的协方差项。

而你指定的2×2矩阵只包含了两个变量之间的协方差信息，完全忽略了第三个变量的影响。用它计算出的特征向量，只是这两个变量自身的主成分方向，和原3维数据的前两个主成分完全不是一回事。如果想得到原数据的PC1和PC2，必须基于完整的3×3协方差矩阵来做特征分解。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者StatsMonkey