这个问题核心是把函数形式的分布转换成能计算统计量的形式——毕竟np.percentile这类工具都是给样本数据用的，我来一步步给你捋清楚怎么搞：

一、先明确y(x)的角色 #

首先得确认你的y(x)是x的概率密度函数（PDF）：也就是对于任意区间[a,b]，x落在这个区间的概率等于∫ₐᵇ y(x)dx。如果y(x)的积分（从负无穷到正无穷）不等于1，那第一步必须归一化，因为所有统计量都是基于概率分布（总概率为1）计算的：

import numpy as np
from scipy.integrate import quad

# 先计算y(x)的总积分
total_integral, _ = quad(y, -np.inf, np.inf)
# 归一化后的PDF，确保总概率为1
def normalized_pdf(x):
    return y(x) / total_integral

如果你的y(x)本来就是归一化的（积分等于1），这一步直接跳过就行。

二、计算各类统计量 #

1. 均值（期望） #

均值的定义是E[x] = ∫₋∞^∞ x * normalized_pdf(x) dx，用数值积分就能直接算：

mean, _ = quad(lambda x: x * normalized_pdf(x), -np.inf, np.inf)

2. 方差与标准差 #

方差是Var[x] = E[x²] - (E[x])²，所以先算x²的期望，再代入公式：

x_squared_expectation, _ = quad(lambda x: x**2 * normalized_pdf(x), -np.inf, np.inf)
variance = x_squared_expectation - mean**2
std_dev = np.sqrt(variance)

3. 百分位数（包括中位数） #

百分位数的定义是：对于p%分位数x_p，满足∫₋∞^x_p normalized_pdf(x) dx = p/100。这里有两种常用方法，你可以根据情况选：

方法A：生成样本后用np.percentile

这是最直观的方法——先生成服从该分布的样本，然后直接用np.percentile计算。通用的样本生成方法是拒绝采样，代码如下：

def rejection_sampling(pdf, x_min, x_max, sample_size):
    # 先找到PDF在[x_min, x_max]范围内的最大值，用来确定采样上限
    x_grid = np.linspace(x_min, x_max, 1000)
    pdf_max = np.max(pdf(x_grid))
    
    samples = []
    while len(samples) < sample_size:
        # 生成均匀分布的x和随机阈值u
        x = np.random.uniform(x_min, x_max)
        u = np.random.uniform(0, pdf_max)
        if u <= pdf(x):
            samples.append(x)
    return np.array(samples)

# 假设你的x取值范围是[-10,10]，可以根据实际情况调整
samples = rejection_sampling(normalized_pdf, x_min=-10, x_max=10, sample_size=100000)

# 现在就可以用np.percentile了！
median = np.percentile(samples, 50)  # 中位数（50%分位数）
p95 = np.percentile(samples, 95)     # 95%分位数

样本量越大结果越准，一般10万到100万样本就足够了。

方法B：直接数值求解CDF的逆

另一种方法是先定义累积分布函数（CDF），然后求解CDF等于目标百分位的x值：

from scipy.optimize import root_scalar

# 定义CDF：P(X ≤ x) = 从负无穷到x的PDF积分
def cdf(x):
    integral, _ = quad(normalized_pdf, -np.inf, x)
    return integral

# 找p分位数（p是0到1之间的数，比如0.5对应中位数）
def find_percentile(p, x_min, x_max, x_guess):
    def equation(x):
        return cdf(x) - p
    # 用brentq方法求解根，需要指定x的范围
    result = root_scalar(equation, bracket=[x_min, x_max], method='brentq')
    return result.root

# 计算中位数
median = find_percentile(0.5, x_min=-10, x_max=10, x_guess=0)
# 计算95%分位数
p95 = find_percentile(0.95, x_min=-10, x_max=10, x_guess=5)

这种方法不需要生成大量样本，适合PDF形态特殊（比如很窄、很陡）的情况，结果也更精确。

三、特殊情况：如果y(x)是累积分布函数（CDF） #

如果你的y(x)本来就是CDF（即y(x) = P(X ≤ x)），那分位数直接求逆函数就行：

from scipy.optimize import root_scalar

def find_percentile_from_cdf(p, cdf, x_min, x_max, x_guess):
    def equation(x):
        return cdf(x) - p
    result = root_scalar(equation, bracket=[x_min, x_max], method='brentq')
    return result.root

median = find_percentile_from_cdf(0.5, y, x_min=-10, x_max=10, x_guess=0)

至于均值和标准差，需要先把CDF转换成PDF（CDF的导数），再用前面的积分方法计算：

from scipy.misc import derivative

def pdf_from_cdf(x):
    return derivative(y, x, dx=1e-6)

内容的提问来源于stack exchange，提问作者maelstromscientist