首先先把原递归函数的代码贴出来，方便我们拆解逻辑：

function findNum(a, b) { 
  if (!b) { b = 0; } 
  if (a < 2) { throw new Error('wrong'); } 
  if (a === 2) { return 1 / a + b; } 
  return findNum(a - 1, b + 1 / (a * (a -1))); 
}

拆解原函数的递归本质 #

原函数的核心逻辑是通过递归累加一个数列：每次递归时，会把1/(a*(a-1))加到参数b中，直到a递减到2，最后返回1/2 + b。如果把这个累加过程展开（假设初始b=0），实际计算的是：
1/(n*(n-1)) + 1/((n-1)*(n-2)) + ... + 1/(3*2) + 1/2

用裂项相消化简级数 #

这里可以用到分式裂项的数学技巧：1/(k*(k-1)) = 1/(k-1) - 1/k。把每一项拆开来后，累加的中间项会相互抵消：

• 1/(3*2) = 1/2 - 1/3
• 1/(4*3) = 1/3 - 1/4
• ...
• 1/(n*(n-1)) = 1/(n-1) - 1/n

把这些项加起来，中间的-1/3和+1/3、-1/4和+1/4都会抵消，最后剩下1/2 - 1/n。再加上原函数最后返回的1/2，总和就是：
(1/2 - 1/n) + 1/2 = 1 - 1/n

如果初始传入了非0的b，那最终结果就是b + 1 - 1/a（因为b会被一直累加进去）。

重写后的无递归/无循环函数 #

基于上面的推导，我们可以直接写出简化版的函数，完全不需要递归或循环：

function findNum(a, b) {
  // 保留原函数的b参数默认值处理
  const initialB = b ?? 0;
  // 保留原函数的错误校验逻辑
  if (a < 2) {
    throw new Error('wrong');
  }
  // 直接用化简后的公式计算
  return initialB + 1 - 1 / a;
}

验证正确性 #

举几个例子验证和原函数结果一致：

• 调用findNum(2)：返回1 - 1/2 = 0.5，和原函数返回1/2 + 0完全一致；
• 调用findNum(3)：返回1 - 1/3 ≈ 0.6667，原函数递归计算为1/(3*2) + 1/2 = 1/6 + 1/2 = 2/3，结果一致；
• 调用findNum(4, 2)：返回2 + 1 - 1/4 = 2.75，原函数递归计算为2 + 1/(4*3) + 1/(3*2) + 1/2 = 2 + 1/12 + 1/6 + 1/2 = 2.75，结果完全匹配。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Adope Adopish