刚接触稀疏矩阵的时候，确实会被各种存储格式搞得头大，我来一步步帮你拆解这个问题，保证能高效完成你要的计算～

你选的 Q @ (D @ (Q^H @ v)) 这个括号顺序完全正确，完美避开了昂贵的矩阵-矩阵乘法：

• 第一步 Q^H @ v：稀疏矩阵乘向量，复杂度仅和Q的非零元素数量相关
• 第二步 D @ 结果：对角矩阵乘向量，本质是元素-wise相乘，几乎零开销
• 第三步 Q @ 结果：又是稀疏矩阵乘向量，同样高效

全程复杂度维持在 O(nnz(Q))，比直接做矩阵乘法的 O(nnz(Q)²) 快几个数量级，这是高效计算的核心前提。

逐个拆解Q、D、v的最优选择：

• Q（复值稀疏矩阵）：优先选 CSC 或 CSR 格式，两者差异不大，按需选择：
  • 如果后续有更多列相关操作（比如按列提取元素），选 CSC；如果是行相关操作，选 CSR
  • 关键是：Q的共轭转置 Q^H 会自动转换格式（CSC转置后是CSR，CSR转置后是CSC），而这两种格式乘向量的效率都很高
• D（复值对角矩阵）：绝对不要用稀疏矩阵存储！直接把对角元素存成普通的Numpy数组即可。因为D乘向量本质就是元素对应相乘，用数组做 D_diag * x 比任何稀疏矩阵格式都快，既省内存又省计算时间。
• v（实值稀疏向量）：建议用 CSR 格式的稀疏矩阵（形状为 (n,1) 的列向量）：
  • 如果v的非零元素占比极低，CSR能大幅节省内存；如果非零元素很多，用稠密Numpy数组也可以（SciPy稀疏矩阵乘稠密向量的效率同样很高）

SciPy会自动处理不同格式之间的转换，但频繁转换会有额外开销。不过在你的计算流程里，基本不需要额外转换：

• 比如Q是CSC，Q^H 自动变成CSR，乘CSR格式的v时直接计算，无需转换；就算v是稠密数组，CSR乘稠密向量也完全支持，效率拉满
• 中间的元素-wise乘法（D_diag * 向量）不管向量是稀疏还是稠密，都能直接执行
• 最后Q（CSC）乘中间向量，不管中间向量是稀疏还是稠密，也无需额外转换

通用规则：尽量让参与乘法的矩阵和向量格式匹配（比如CSR矩阵配CSR向量/稠密数组，CSC矩阵配CSC向量/稠密数组），避免不必要的格式转换。如果只是偶尔混用，那点转换开销几乎可以忽略。

如果要把代码搬到GPU上跑，除了SciPy的经验，还要注意这些：

• 提前把所有数据转到GPU：绝对不要在计算过程中频繁在CPU和GPU之间传输数据，这是GPU效率的大忌。用 cupy.array() 转稠密数组，用 cupyx.scipy.sparse.csr_matrix() 转稀疏矩阵。
• 格式优先选CSR：GPU上的CSR稀疏矩阵乘向量效率通常比CSC更高，建议实际测试对比。
• D还是用数组存：和CPU端一样，直接用CuPy数组存D的对角元素，做元素-wise乘法是最快的，别用稀疏对角矩阵。
• 保持格式一致性：CuPy的稀疏矩阵乘法兼容性不如SciPy，尽量让所有参与计算的对象都用CuPy的格式，避免自动转换带来的开销。
• 实际测试性能：GPU上的最优格式可能和CPU端有差异，跑几个测试用例对比速度，选出最适合你的方案。

import numpy as np
from scipy.sparse import csc_matrix, csr_matrix

# 生成测试数据
n, m = 1000, 500
# 构造复值稀疏矩阵Q（CSC格式）
Q_data = np.random.randn(n*m//10) + 1j*np.random.randn(n*m//10)
Q_rows = np.random.randint(0, n, size=n*m//10)
Q_cols = np.random.randint(0, m, size=n*m//10)
Q = csc_matrix((Q_data, (Q_rows, Q_cols)), shape=(n, m))

# D的对角元素存成普通数组
D_diag = np.random.randn(m) + 1j*np.random.randn(m)

# 构造实值稀疏向量v（CSR格式列向量）
v_data = np.random.randn(m//10)
v_indices = np.random.randint(0, m, size=m//10)
v = csr_matrix((v_data, (v_indices, np.zeros_like(v_indices))), shape=(m, 1))

# 执行计算
step1 = Q.H @ v  # Q^H是CSR，乘CSR向量v
step1_dense = step1.toarray().ravel()  # 转稠密数组做元素乘法更快
step2 = D_diag * step1_dense
result = Q @ step2

import cupy as cp
from cupyx.scipy.sparse import csc_matrix, csr_matrix

# 把数据转到GPU
Q_cupy = csc_matrix(Q)
D_diag_cupy = cp.array(D_diag)
v_cupy = csr_matrix(v)

# GPU上执行计算
step1_cupy = Q_cupy.H @ v_cupy
step1_dense_cupy = step1_cupy.toarray().ravel()
step2_cupy = D_diag_cupy * step1_dense_cupy
result_cupy = Q_cupy @ step2_cupy

# 如需转回CPU
result_cpu = cp.asnumpy(result_cupy)

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user502382