首先，我先梳理你给出的布局规律，一步步推导对应的公式：

1. 先搞懂每个节点的内存大小规律 #

观察你的二叉树和内存布局，每个节点的大小完全由它在树中的层级决定，而层级可以通过节点ID的二进制特征直接判断：

• 叶子节点（最底层，size=1）：ID的二进制末尾没有连续的1，比如0（0000）、2（0010）、4（0100）这些偶数
• 第1层节点（size=2）：ID的二进制末尾有1个连续的1，比如1（0001）、5（0101）、9（1001）
• 第2层节点（size=4）：ID的二进制末尾有2个连续的1，比如3（0011）、11（1011）
• 第3层节点（size=8）：ID的二进制末尾有3个连续的1，比如7（0111）

总结一下：对于节点ID k，设 t 为其二进制表示中末尾连续1的个数（k=0时t=0），则该节点的内存大小 s(k) = 2^t。

2. 地址映射的核心公式 #

你要的地址函数 f(n) 本质上是前n个节点（ID从0到n-1）的内存大小之和，也就是：

f(n) = sum_{k=0}^{n-1} s(k) = sum_{k=0}^{n-1} 2^{t(k)}

其中 t(k) 就是k的二进制末尾连续1的个数。

3. 不用循环求和的简化计算方法 #

如果不想逐个节点累加，我们可以把这个求和转化为基于二进制位的快速计算，效率会高很多：

方式一：位运算迭代计算

对于任意n，我们可以通过循环处理每一位来计算，步骤如下：

1. 初始化结果 res = 0，临时变量 current = n
2. 当 current > 0 时：
   a. 每次把current除以2，得到商
   b. 累加该商乘以 2^(i-1)（i是当前循环的次数，从1开始）
3. 最终 f(n) = n + res

比如计算你给出的f(8)：

• n=8，res初始为0
• current=8：floor(8/2)1 + floor(8/4)2 + floor(8/8)4 =41+22+14=4+4+4=12
• res=12，f(8)=8+12=20，和结果完全一致。

方式二：代码实现（伪代码）

如果要写代码落地，用位运算会非常高效，比如Python版本：

def get_node_address(n):
    if n == 0:
        return 0
    total = 0
    temp = n
    shift = 0
    while temp > 0:
        temp = temp // 2
        total += temp * (1 << shift)  # 1<<shift 等价于2^shift
        shift += 1
    return n + total

测试几个值：

• get_node_address(0)=0 ✔️
• get_node_address(2)=2 + (1*1)=3 ✔️
• get_node_address(7)=7 + (31 +12 +0*4)=7+5=12 ✔️
• get_node_address(8)=8+12=20 ✔️

完全匹配你给出的结果。

总结 #

这个布局的核心逻辑就是：节点大小由ID二进制末尾连续1的个数决定，地址则是前n个节点大小的累加和。你可以用上述的求和公式、位运算迭代方法或者代码来快速计算任意节点ID对应的内存地址。