咱们先从问题背景说起：假设对于自然数$n$，$\mathbb{R}^n$的子集$A$关于某个任意测度可测，再考虑从$A$映射到$\mathbb{R}$的函数$f$——这里涉及到Carathéodory可测集上均匀概率测度的Radon-Nikodym导数，以及可测函数的相关性质。

你应该知道，函数空间里的“几乎所有”不一定需要在函数集合上定义测度，这种“大”集合我们称之为流行集（prevalent set）。你的核心问题是：在全体函数（包含可测和不可测函数）中，那些期望无穷或者无定义的函数，是不是构成一个流行集？

这个问题是之前一个问题的续篇——之前你问过“勒贝格可测函数中不可积的函数，是不是可测函数集中的流行集”，现在想把范围拓展到包含不可测函数的情况。

先看已有的可测函数情形的论证是否成立 #

你提到的来自示例3.6的思路是站得住脚的，咱们拆解一下：

• 任何函数都能分解为正部和负部$f=f^+-f-$，所以先聚焦正函数的均值情况就行，这里假设$A$有有限正测度，“有均值”指积分有限，不可积就意味着积分无穷。
• 取$X:=L^{0(A)$（$A$上的全体可测函数空间），$P$是常数函数构成的一维子空间（默认用勒贝格测度），$F:=L}0(A)\setminus L^1(A)$（积分无限的可测函数集合）。
• 对任意固定的$f\in F$，有：
  $$\lambda_{P}\left(\left{\alpha\in\mathbb{R}\mid \int_{A}\left(f+\alpha\right) d\mu<\infty\right}\right)=0 $$
  这是因为对于正的不可积函数$f$，只有当$\alpha$是负的且绝对值足够大时，$f+\alpha$才可能变成可积函数，但这样的$\alpha$构成的是$\mathbb{R}$中的一个有界区间，勒贝格测度为0。完全符合流行集的定义：存在一个探针子空间（这里是常数函数空间），几乎所有探针平移后的元素都落在目标集$F$里。所以可测函数中期望无穷的集合确实是可测函数空间中的1-流行集。

拓展到包含不可测函数的情形：核心难点与分析 #

现在问题来到了包含不可测函数的全体函数空间，这里需要先明确几个关键点：

1. 不可测函数的期望性质：不可测函数无法关于给定测度定义积分，所以它们的期望是无定义的，天然属于你所说的“期望无穷或无定义”的集合。
2. 全体函数空间的结构问题：流行集原本是定义在拓扑向量空间上的，但全体函数空间（包含不可测函数）没有自然的拓扑结构能让线性运算连续，所以首先得考虑把流行集的概念推广到纯线性空间上（也就是不依赖拓扑的代数流行集）。

如果我们接受代数流行集的定义，那么可以从两个角度推导结论：

• 一方面，可测函数中期望无穷的集合已经是可测函数空间里的流行集；
• 另一方面，不可测函数的“规模”远大于可测函数：从基数来看，可测函数的基数是$2^{{\aleph_0}$，而全体函数的基数是$2}{2^{\aleph_0}}$，不可测函数的基数和全体函数完全一致，相当于“绝大多数”函数都是不可测的。

再结合探针子空间的思路验证：取常数函数空间$P$作为探针，对任意函数$f$：

• 如果$f$是不可测的，那么$f+\alpha$仍然是不可测的（可测函数加不可测函数结果不可测），所以期望无定义，属于目标集；
• 如果$f$是可测且期望无穷的，如之前的论证，几乎所有$\alpha$都能让$f+\alpha$的期望保持无穷；
• 如果$f$是可测且期望有限的，那么$f+\alpha$的期望是$\mathbb{E}[f]+\alpha\mu(A)$，确实对所有$\alpha$都有限，但这类可积函数在可测函数空间里是不流行的（补集才是流行集），再加上不可测函数的压倒性规模，整体来看目标集依然是流行的。

后续证明的建议 #

如果你想严格证明这个结论，可以按照以下步骤走：

1. 明确流行集的推广定义：先给全体函数空间（作为线性空间）定义代数流行集，即存在有限维子空间$P$（探针），使得对几乎所有$\alpha\in P$，$f+\alpha$属于目标集（这里的“几乎所有”用$P$上的勒贝格测度定义）。
2. 分块论证：
   • 先证明不可测函数构成的集合在全体函数空间中是代数流行集；
   • 结合可测函数中期望无穷的集合是流行集，证明两者的并集（也就是你的目标集）是流行集；
3. 基数论证辅助：虽然流行集不是基数意义上的“大”，但基数分析可以辅助说明不可测函数的压倒性占比，让结论更直观。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Arbuja