嗨，这个问题其实可以利用多项式的特殊性质来解决，不用硬算合成除法找根，咱们一步步来分析：

第一步：识别多项式的特殊类型 #

观察给定的多项式：
$$10x^5+37x4-83x^3-83x2+37x+10$$
它的系数是对称的（从前往后和从后往前完全一致：10, 37, -83, -83, 37, 10），这类多项式叫做互反多项式（回文多项式），核心性质是：如果$r$是它的根，那么$\frac{1}{r}$也必然是它的根。

另外，因为这是奇数次互反多项式，$x=-1$一定是根（代入验证：$10(-1)^5+37(-1)4-83(-1)^3-83(-1)2+37(-1)+10=-10+37+83-83-37+10=0$），所以$(x+1)$是这个多项式的一个因子。

第二步：分解多项式 #

我们把原多项式除以$(x+1)$，得到四次互反多项式：
$$10x^5+37x4-83x^3-83x2+37x+10=(x+1)(10x^4 + 27x^3 - 110x^2 + 27x + 10)$$

对于这个四次互反多项式，我们两边除以$x^2$，整理后换元简化：
$$10x^2 + 27x - 110 + \frac{27}{x} + \frac{10}{x^2}=0$$
$$10\left(x^2+\frac{1}{x2}\right)+27\left(x+\frac{1}{x}\right)-110=0$$

令$y=x+\frac{1}{x}$，注意$x^2+\frac{1}{x2}=y^2-2$，代入后得到二次方程：
$$10(y^2-2)+27y-110=0$$
$$10y^2+27y-130=0$$

解这个二次方程，用求根公式得到：
$$y=\frac{-27\pm\sqrt{27^2+4\times10\times130}}{20}=\frac{-27\pm77}{20}$$
即$y_1=\frac{5}{2}$，$y_2=-\frac{26}{5}$

第三步：求解所有根 #

分别解$x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}$和$x+\frac{1}{x}=-\frac{26}{5}$：

• 对于$x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}$，整理得$2x^2-5x+2=0$，根为$x=2$和$x=\frac{1}{2}$
• 对于$x+\frac{1}{x}=-\frac{26}{5}$，整理得$5x^2+26x+5=0$，根为$x=-5$和$x=-\frac{1}{5}$

加上之前的根$x=-1$，所有五个根为：$-5, -1, -\frac{1}{5}, \frac{1}{2}, 2$，按从小到大排序得$a=-5$，$b=-1$，$c=-\frac{1}{5}$，$d=\frac{1}{2}$，$e=2$

第四步：计算目标表达式 #

代入目标式$(a + b)(b + c)(c + d)(d + e)(e + a)$：

• $a+b=-5+(-1)=-6$
• $b+c=-1+(-\frac{1}{5})=-\frac{6}{5}$
• $c+d=-\frac{1}{5}+\frac{1}{2}=\frac{3}{10}$
• $d+e=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$
• $e+a=2+(-5)=-3$

将这些值相乘：
$$(-6)\times\left(-\frac{6}{5}\right)\times\frac{3}{10}\times\frac{5}{2}\times(-3)=-\frac{81}{5}$$

关于Vieta定理的使用说明 #

你提到尝试用Vieta定理但没找到思路，其实对于这类特殊结构的多项式，先利用互反多项式的性质分解求根会比直接展开对称式高效得多——如果硬要通过Vieta展开目标表达式，需要处理大量的对称项组合，计算量会非常大，而借助多项式的特殊性质可以大幅简化过程。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ansere