大家好，我最近在研究双曲几何里的两点距离测量，结果卡在一个超级复杂的积分上，实在走投无路，想请各位大佬帮忙支招！

我要计算的是2叶双曲面 $x^2+y2-z^2=-1$ 上两点 $G=(x_0,y_0,z_0)$ 和 $B=(x_1,y_1,z_1)$ 之间的测地线距离——这个曲面的测地线就是曲面本身与过原点的平面的交线，本质就是双曲线上的弧长。

最开始我尝试用曲面自带的度量来计算弧长，这个度量是：
$$ds^2=dx2+dy^{2+\frac{(xdx+ydy)}2}{1+x^2+y2}$$

对应的双曲线可以表示为：
$$Hyp=\left(x,y,\pm \sqrt{x^2+y2+1}\right)$$
同时满足二次约束方程：
$$(\alpha^2-\gamma2)x^2+2\alpha\beta xy+ (\beta^2-\gamma2)y^2=\gamma2$$
（这里的 $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ 都是由点G和B的坐标推导出来的，而 $e_k$ 又是 $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ 的函数）

我把这个二次方程因式分解成了 $(e_1x+e_2y)(e_3x+e_4y)=\gamma^2$，接着引入参数 $\tau$ 做了变量替换：$e_1x+e_2y=\gamma\tau$，$e_3x+e_4y=\gamma\tau^{-1}$，最后推导出了这个看起来让人头大的积分：
$$\sqrt{\frac{\gamma^{2}{(e_1e_4-e_2e_3)}2}\left((e_4+e_2\tau^{-2})2+(-e_3-e_1\tau^{-2})2\right)+\frac{\gamma^{4[(e_4\tau-e_2\tau}{-1})(e_4+e_2\tau^{{-2})+(-e_3\tau+e_1\tau}{-1})(-e_3-e_1\tau^{-2})]2}{(e_1e_4-e_2e_3)^{2((e_1e_4-e_2e_3)}2+\gamma^{2[(e_4\tau-e_2\tau}{-1})^{2+(-e_3\tau+e_1\tau}{-1})^2])}}\ \ d\tau.$$

其实我之前还考虑过另一个思路：直接在测地线所在的平面内计算双曲线上的弧长，但当时觉得用参数τ的这条路应该能顺利走通，结果现在完全卡壳了。

有没有大佬能帮忙化简这个积分，或者给我指一条更简单的计算这两点距离的方法？等我算出距离之后，还打算把这条双曲线映射到平面上，如果有相关的思路也欢迎分享！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Alexander Conrad