嗨，很高兴你对博弈论里“博弈”的严谨数学定义感兴趣！虽然维特根斯坦提出过“游戏”这类概念只有家族相似性、难以精确定义，但在数学博弈论的框架里，学界早已形成了公认的正式定义，而且不同的表述方式对应不同的分析场景。

下面是两类最核心的正式定义，在经典教材和学术论文中被广泛使用：

• 标准式（策略式）博弈的经典定义
  这是博弈论中最基础、应用最广的形式化表述，核心包含三个要素：

  1. 参与者集合：记为 ( N = {1, 2, ..., n} )，n可以是1（单人博弈，比如单人决策问题）或多人
  2. 策略集：每个参与者 ( i ) 拥有一个非空的策略集合 ( S_i )，集合中的元素是该参与者可选的纯策略；如果考虑混合策略，则是 ( S_i ) 上的概率分布集合
  3. 支付函数：对于任意一个策略组合 ( s = (s_1, s_2, ..., s_n) )（其中 ( s_i \in S_i )），存在一个支付函数 ( u_i(s) \in \mathbb{R} )，用来表示参与者 ( i ) 在该策略组合下获得的收益（通常是效用值或货币收益）

  整体可以形式化写成：( G = \langle N, {S_i}{i \in N}, {u_i}{i \in N} \rangle )。这个定义最早在冯·诺依曼与摩根斯坦的奠基性著作《博弈论与经济行为》中被系统提出，之后奥斯本和鲁宾斯坦的《博弈论教程》等经典教材也沿用了这一核心框架。

• 扩展式博弈的定义
  如果需要刻画有先后行动顺序、信息不对称的动态博弈（比如象棋、拍卖、谈判等），扩展式博弈的定义会更精细，除了基础的参与者和支付，还包含：

  • 博弈树：用来表示行动的顺序、每个节点对应的行动参与者
  • 信息集：定义参与者在行动时所掌握的信息（比如是否知道之前其他参与者的行动）
  • 自然（Nature）：作为虚拟参与者，用来表示随机事件（比如天气、市场波动等外生因素）

  这种定义能更精准地还原真实互动的时序和信息差异，是研究动态博弈的核心工具。

需要注意的是，不同的研究场景下，学者可能会对定义做一些微调（比如限定支付函数的连续性、凸性，或者明确区分合作/非合作博弈），但核心的“参与者-策略-支付”逻辑是所有数学定义的基础。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user107952