嘿，我来帮你搞定这个微分中值定理的问题～

首先先把问题明确一下：

设$f(x), g(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(b)=g(a)=0$，同时对所有$x\in(a,b)$，$f(x),g(x)\neq0$。证明存在$x_0\in(a,b)$，使得
$$\frac{f'(x_0)}{f(x_0)}=-\frac{g'(x_0)}{g(x_0)}$$

你之前尝试用广义均值定理（柯西中值定理）的思路其实方向有点偏啦——柯西中值定理是用来关联两个函数在区间上的整体变化率，但我们这里需要的是同一处的导数与原函数的比值关系，这时候构造合适的辅助函数才是关键！

我们可以先把目标等式变形一下，看看能不能找到突破口：
把等式移项得到：
$$\frac{f'(x_0)}{f(x_0)} + \frac{g'(x_0)}{g(x_0)} = 0$$
通分后分子是$f'(x_0)g(x_0) + f(x_0)g'(x_0)$，这不就是乘积函数$h(x)=f(x)g(x)$的导数吗？！因为$h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$。

接下来验证这个辅助函数$h(x)$是否满足中值定理的条件：

• $h(x)$在$[a,b]$上连续：因为$f(x)$和$g(x)$都在$[a,b]$连续，乘积也连续；
• $h(x)$在$(a,b)$内可导：同理，可导函数的乘积也可导；
• 端点值：$h(a)=f(a)g(a)=f(a)\times0=0$，$h(b)=f(b)g(b)=0\times g(b)=0$，刚好$h(a)=h(b)$。

这完全符合罗尔定理的所有条件！根据罗尔定理，必然存在$x_0\in(a,b)$，使得$h'(x_0)=0$，也就是：
$$f'(x_0)g(x_0) + f(x_0)g'(x_0) = 0$$
又因为题目里明确说了，对所有$x\in(a,b)$，$f(x)$和$g(x)$都不为0，所以$f(x_0)g(x_0)\neq0$，我们可以放心地把等式两边同时除以$f(x_0)g(x_0)$，就得到：
$$\frac{f'(x_0)}{f(x_0)} + \frac{g'(x_0)}{g(x_0)} = 0$$
整理一下就是你要证明的结论：
$$\frac{f'(x_0)}{f(x_0)}=-\frac{g'(x_0)}{g(x_0)}$$

其实以后遇到$\frac{f'(x)}{f(x)}$这种形式，也可以联想到$\ln|f(x)|$的导数，但这里是两个这种项相加，用乘积函数的导数会更直接哦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Brandon Myers