嘿，我完全懂你的困惑——这个重复除法的步骤看起来有点反直觉，但咱们用线性代数的核心逻辑拆解，全程不用三角函数就能搞明白：

首先明确投影的核心定义：把向量B投影到A上得到的向量，一定是A的某个标量倍数，也就是可以写成 proj_A B = k*A，这里的k就是我们要找的缩放系数。这个定义的本质是：投影向量必须完全落在A的方向上，只能是A的缩放版本。

然后线性代数里投影有个关键性质：原向量B减去投影向量后，剩下的“垂直分量”（B - proj_A B）必须和A垂直。这很好理解——投影就是把B拆成两个部分：一个沿着A，一个完全垂直于A，垂直的部分和A自然没有任何方向上的重叠。

利用点积的核心性质：两个垂直向量的点积为0。我们可以写出等式：
A · (B - k*A) = 0

把这个式子展开：
A·B - k*(A·A) = 0

接下来解这个方程求k：
把k*(A·A)移到右边，得到 A·B = k*(A·A)，所以 k = (A·B)/(A·A)

而向量和自身的点积 A·A 就等于它长度的平方 |A|²，所以k可以写成 (A·B)/|A|²

现在把k代入投影向量的表达式：
proj_A B = [(A·B)/|A|²] * A

现在对应你的思路拆解：你先得到了A的单位向量 u = A/|A|，想乘以一个标量得到投影。那我们把上面的式子拆成和你思路匹配的形式：
proj_A B = [(A·B)/|A|] * (A/|A|) = [(A·B)/|A|] * u

这里就能看出问题了：你之前误以为这个标量是 A·B，但正确的标量应该是 (A·B)/|A|——也就是单位向量u和B的点积（因为 u·B = (A/|A|)·B = (A·B)/|A|），而不是原向量A和B的点积。

你已经做了一次除以|A|得到单位向量，但标量部分还需要再除以一次|A|：因为原向量A和B的点积 A·B 其实包含了A自身长度的“权重”——它等于「A的长度」乘以「B在A方向上的分量长度」，所以要得到纯粹的分量长度，必须把A的长度除掉，才能和单位向量相乘得到正确的投影向量。

举个极端例子验证：如果A本身就是单位向量（|A|=1），那你的思路就完全正确了——投影向量就是 (A·B)*A，因为此时除以|A|²和除以|A|是一回事。但当A不是单位向量时，A·B的结果被A的长度放大了，所以必须把这个放大的部分除掉两次，才能得到正确的投影。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Psetty