关于用D'Alembert Method求解给定二阶线性PDE的结果疑问及求解建议咨询

阿华AIGC实验室

2026-4-23

大家好，我最近在用D'Alembert方法求解一个二阶线性偏微分方程，但总觉得自己的求解过程哪里有问题，想请各位帮忙梳理下，看看我的步骤哪里出错了，谢谢！

给定的PDE问题

我需要求解的方程及初始、边界条件如下：
$$
\begin{align}
u_{tt}&=\frac{1}{9}u_{xx}, & &t>0,\ x \in \mathbb{R} \tag 1 \
u(x,0)&=\frac{1}{x^2+9},&& x \in \mathbb{R} \tag 2\
u_t&(x,0)=0, && x \in \mathbb{R} \tag 3\
\lim_{|x|\to+\infty} u(x,t)&=\lim_{|x|\to+\infty} u_t(x,t)=0,&& t\geq0 \tag4
\end{align}
$$

我的求解步骤

1. 判定方程类型

首先我设定 $c=\frac{1}{3}$，计算判别式 $D=4c^2>0$，确定这是双曲型方程。

2. 求解特征线与变量替换

接下来求特征线方程：
$$\frac{dx}{dt}=\pm c$$
得到特征变量：
$$
\begin{align}
k_1&=x+ct\
k_2&=x-ct
\end{align}
$$

我做了如下变量替换：
$$
\begin{align}
\xi&=x-ct\
\eta&=x+ct
\end{align}
$$
令 $v(\xi, \eta) = u(x, t)$，计算二阶偏导数后得到：
$$
\begin{align}
u_{tt}&=c^2 u_{\xi \xi}-2 c^2 u_{\xi \eta}+ c^2 u_{\eta \eta}\
u_{xx}&=u_{\xi \xi}+2u_{\xi \eta}+u_{\eta \eta}
\end{align}
$$

把这些代入原方程后，化简得到标准形式：
$$4u_{\xi \eta}=0\tag 5$$

3. 求通解

对式(5)先后关于 $\eta$ 和 $\xi$ 积分，得到通解：
$$u(\xi,\eta)=f(\xi)+g(\eta)\Leftrightarrow u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct) \tag 6$$
（哦，这里我之前写错了，原来写成了 $f(t-cx)$，这应该是第一个小错误）

4. 应用初始条件（D'Alembert方法）

初始条件整理为：
$$
\begin{align}
u(x,0)&=\varphi(x)=\frac{1}{x^2+9},&& x \in \mathbb{R} \
u_t(x,0)&=h(x)=0, && x \in \mathbb{R} \
\lim_{|x|\to+\infty} u(x,t)&=\lim_{|x|\to+\infty} u_t(x,t)=0,&& t\geq0
\end{align}
$$

当 $t=0$ 时，代入通解(6)得到：
$$u(x,0)=f(x)+g(x) = \varphi(x)=\frac{1}{x^2+9} \tag 7$$

对式(6)关于 $t$ 求导：
$$u_t(x,t)= c(g'(x+ct)-f'(x-ct))$$

代入 $t=0$ 的初始条件 $u_t(x,0)=0$：
$$c(g'(x)-f'(x)) =0 \Leftrightarrow g'(x)=f'(x) \tag 8$$

对式(7)关于 $x$ 求导：
$$f'(x)+g'(x)=\varphi'(x)=-\frac{2x}{(x²⁺⁹⁾2} \tag 9$$

结合式(8)和(9)，可得：
$$2f'(x)=-\frac{2x}{(x²⁺⁹⁾2}$$

积分后得到：
$$f(x)= \frac{1}{2(x^2+9)}+f_0 = \frac{\varphi(x)}{2}+f_0\tag{10}$$
这时候我之前错误地认为 $g(x)=\frac{\varphi(x)}{2}+f_0$，但实际上根据 $f(x)+g(x)=\varphi(x)$，应该是：
$$g(x)=\frac{\varphi(x)}{2}-f_0 \tag{11}$$
这是第二个错误！