嘿，咱们一步步拆解你提出的这些关于单调递增函数交点的问题，都是很有意思的分析点！

1. 两个单调递增函数（已知至少有一个交点）的交点数及影响因素 #

首先明确：严格单调递增的函数（满足x₁<x₂时，f(x₁)<f(x₂)）可以有1个、多个甚至无穷多个交点。举几个直观例子：

• 无穷多个交点：比如f(x)=x和g(x)=x，整个定义域内所有点都是交点；
• 多个交点：比如f(x)=x³和g(x)=x，在区间[-2,2]内有x=-1、0、1三个交点；
• 单个交点：比如f(x)=2x和g(x)=x+1，只有x=1这一个交点。

核心影响因素是两个函数的增长速率对比，用差值函数h(x)=f(x)-g(x)分析更清晰：

• 如果h(x)是单调函数（严格递增或递减），那h(x)最多有一个零点，对应两个函数最多一个交点；
• 如果h(x)不是单调的（比如先增后减再增，或者先减后增），那h(x)可能有多个零点，对应多个交点。

2. 新增“一个函数的值域包含另一个”的条件后，交点数有什么变化？ #

这个条件本身并不能直接限制交点数，还是要看差值函数h(x)的零点情况：

• 比如f(x)=x³（值域[-8,8]，包含g(x)=x的值域[-2,2]），两者依然有3个交点；
• 而f(x)=2x（值域[-4,4]，包含g(x)=x+1的值域[-1,3]），两者只有1个交点。

这个条件更多是提升了“存在交点的可能性”（值域覆盖意味着一个函数的取值范围包含另一个，更容易产生交点），但无法直接确定交点数量。

3. 有没有规则判定这种情况下（单调增+值域包含）只有1个交点？ #

有的！关键在于差值函数h(x)=f(x)-g(x)必须是严格单调的：

• 如果h(x)严格递增，那么它最多有一个零点（单调函数不可能两次穿越x轴）；
• 如果h(x)严格递减，同理也最多一个零点。

从可导函数的角度看，只要h'(x)=f’(x)-g’(x)恒正（h严格递增）或恒负（h严格递减），就能保证只有一个交点。比如f(x)=2x（导数2）和g(x)=x+1（导数1），h’(x)=1>0，h(x)严格递增，所以只有一个零点。

4. 这和导数、凹凸性有关吗？ #

当然有关：

• 导数：直接决定了差值函数h(x)的单调性，是判定交点数量最直接的工具。如果h’(x)不变号，h(x)单调，交点最多一个；如果h’(x)变号，h(x)会出现极值点，可能产生多个零点（多个交点）。
• 凹凸性：会影响h(x)的变化趋势，但不能单独用来判定只有一个交点。比如：
  • 若f是严格凸的单调增函数，g是严格凹的单调增函数，那么h(x)=f(x)-g(x)是严格凸函数，它可能先减后增，出现两个零点（比如f(x)=x²，g(x)=x在[0,+∞)内有两个交点）；
  • 只有当凹凸性结合单调性（比如h(x)本身单调）时，才能确保只有一个交点。

简单来说，导数是判定“是否只有一个交点”的核心依据，凹凸性是辅助分析函数变化趋势的工具，但没有单独的“万能规则”能直接判定，最终还是要回到差值函数的单调性上。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Eric