我们都知道，给定一个n阶微分方程，通过变量替换 $x_i = x^{(i-1)}$（注：原问题表述的 $x_i = x^{(i)}$ 应为笔误，标准替换逻辑是 $x_1=x, x_2=x', x_3=x'', \dots, x_n=x^{(n-1)}$），可以将其转化为一阶常微分方程组。那反过来成立吗？我问的是任意常微分方程组，而不只是这种形式的方程组：
$$
x_1' = x_2 \
x_2' = x_3 \
\vdots \
x_n' = f(x_1,\dots, x_n)
$$

结论：不是所有一阶常微分方程组都能转化为单个高阶微分方程 #

先给个直白的结论：只有满足特定依赖条件的方程组才能完成这种转化，任意方程组做不到。下面具体解释：

• 核心要求：变量间可递推依赖
  要把多个一阶方程合并成单个高阶方程，关键是能通过消元法，把所有其他变量都用某一个主变量及其各阶导数表示，最后消去所有多余变量，得到仅关于主变量的高阶方程。

• 反例：无法合并的方程组
  举个简单的例子就能看明白：
  $$
  \begin{cases}
  x' = 1 \
  y' = x^2
  \end{cases}
  $$
  解这个方程组很简单：第一个方程积分得 $x(t) = t + C_1$，代入第二个方程积分得 $y(t) = \frac{(t+C_1)^3}{3} + C_2$。但你没法把它写成一个只关于 $y$（或 $x$）的高阶微分方程——因为 $x$ 和 $y$ 的解本质上是两个独立的函数，没有办法通过多次微分消去其中一个变量，得到单个变量的高阶方程。

• 可合并的情况：存在递推关系
  比如这个经典的线性方程组：
  $$
  \begin{cases}
  x' = y \
  y' = -x + y
  \end{cases}
  $$
  对第一个方程求导得 $x'' = y'$，代入第二个方程就能直接得到二阶微分方程：$x'' - x' + x = 0$。这类方程组的变量之间存在明确的导数递推关系，所以能顺利合并。

• 严谨的充要条件
  从理论上讲，一个由 $n$ 个一阶方程组成的系统能转化为单个 $n$ 阶微分方程的充要条件是：该系统是完全可积的，且存在一个主变量，使得其余所有变量都能表示为这个主变量及其前 $n-1$ 阶导数的函数，同时通过微分替换可以消去所有其他变量，最终得到仅含主变量及其 $n$ 阶导数的方程。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user210089