嘿，这个问题提得特别精准！其实在Fréchet导数的定义里，a必须是V'的极限点这个条件是必要的，只是很多教材要么把它藏在前提设定里，要么默认大家能从极限的定义中自行推导出来。

先帮你再明确一下讨论的基础背景和定义：

本节中我们始终假设 $V$ 和 $W$ 是赋范向量空间，$V'$ 是 $V$ 的开子集，$f$ 是定义在 $V'$ 上取值于 $W$ 的函数。

可微性定义 #

函数 $f:V'\to W$ 在点 $a\in V'\subseteq V$ 处可微，当且仅当存在一个连续线性变换 $L:V\rightarrow W$，使得：
$$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{|f(a+h)-f(a)-L(h)|_W}{|h|_V}=0.$$
这个线性变换 $L$ 称为 $f$ 在点 $a$ 处的导数，记为：
$$f'_a = f'(a) = Df(a) = D_a f.$$

回到你的疑问：要让上述极限有意义，首先得保证存在足够多非零的h，使得a+h落在V'中——如果a是V'的孤立点，那只有h=0时a+h才在V'里，但极限讨论的是h趋近于0（h≠0）的情况，这时候你提到的那个分式函数在0的去心邻域里根本没有定义，极限自然无从谈起。

而a是V'的极限点，就等价于a的任意去心邻域都和V'相交，也就是存在足够多非零的h使得a+h∈V'，这样讨论h→0时的极限才有逻辑基础。

那为什么很多教材不明确写出这个要求呢？主要有两个原因：

• 不少教材会把V'设定为开集（就像这里的前提一样），而开集中的每个点都是自身的极限点——因为开集里的点总有一个小邻域完全包含在V'内，这个邻域里的所有点都能作为a+h（h≠0），所以a自然满足极限点的条件。
• 部分教材在定义极限时，已经默认了“极限点”的前提：当我们说$\lim_{h→0} F(h)$存在时，就隐含了F在0的某个去心邻域上有定义，对应到这里就是a是V'的极限点。

所以结论是：这个要求是完全必要的，只是它要么被包含在“V'是开集”的前提里，要么被极限定义本身隐含了。如果遇到的教材没有明确标注，你完全可以把它作为定义的补充条件，让整个逻辑更严谨。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sam