嘿，我看你已经完成了高斯消元的核心步骤，得到了行阶梯形矩阵，现在卡在变量求解和S(Ω)的计算上对吧？我来一步步帮你理清楚：

第一步：明确行阶梯形矩阵对应的方程组 #

先把你得到的最终矩阵对应的线性方程列出来，方便后续分析：
$$
\left(
\begin{array}{cccc|c}
4 & -1 & 1 & -1 & 3 \
0 &\dfrac34 & -\dfrac{13}4 & \dfrac34 & 5 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
\end{array}
\right)
$$
对应的方程组是：

• $4x_1 - x_2 + x_3 - x_4 = 3$（第一行）
• $\frac{3}{4}x_2 - \frac{13}{4}x_3 + \frac{3}{4}x_4 = 5$（第二行）
• 后两行都是$0=0$（这是恒成立的等式，说明原方程组有两个冗余方程，真正起约束作用的只有2个）

第二步：确定自由变量 #

因为你有4个变量，但只有2个有效约束，所以存在2个自由变量——也就是可以任意取值的变量。观察矩阵的主元位置（每一行第一个非零元素所在的列），主元在第1、2列，对应的$x_1$、$x_2$是"主变量"（需要用其他变量表示的），剩下的$x_3$、$x_4$就是自由变量，我们可以设：

• $x_3 = s$（s是任意实数）
• $x_4 = t$（t是任意实数）

第三步：用自由变量表示主变量 #

先处理第二行的方程，两边乘4消去分母会更方便：
$$3x_2 -13x_3 +3x_4 = 20$$
把$x_3=s$、$x_4=t$代入，解出$x_2$：
$$3x_2 = 20 +13s -3t \implies x_2 = \frac{20 +13s -3t}{3}$$

再把$x_2$、$x_3$、$x_4$代入第一行的方程，解出$x_1$：
$$4x_1 = 3 + x_2 - x_3 + x_4$$
代入$x_2$的表达式后通分计算：
$$4x_1 = 3 + \frac{20+13s-3t}{3} - s + t = \frac{9 +20 +13s -3t -3s +3t}{3} = \frac{29 +10s}{3}$$
所以：
$$x_1 = \frac{29 +10s}{12}$$

第四步：计算S(Ω)——方程组的解集合 #

在这类线性代数问题里，$S(Ω)$通常指的是方程组的所有解构成的集合。你可以用两种清晰的方式表示它：

1. 参数形式

直接用自由变量s、t表示所有解：
$$
S(Ω) = \left{ \left( \frac{29+10s}{12}, \frac{20+13s-3t}{3}, s, t \right) \mid s, t \in \mathbb{R} \right}
$$

2. 向量形式（更直观体现解的结构）

把解拆成一个"特解"（满足方程组的某个具体解）加上两个齐次解的线性组合：
$$
S(Ω) = \left{ \begin{pmatrix} \frac{29}{12} \ \frac{20}{3} \ 0 \ 0 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} \frac{5}{6} \ \frac{13}{3} \ 1 \ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 0 \ -1 \ 0 \ 1 \end{pmatrix} \mid s, t \in \mathbb{R} \right}
$$
（注：这里把$\frac{10}{12}$简化成了$\frac{5}{6}$，$\frac{-3t}{3}$简化成了$-t$，和参数形式是完全等价的）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mary