嘿，我完全理解你现在的情况——之前只接触过用欧几里得算法解简单的线性丢番图方程，碰到这种带$xy$项的二次方程肯定有点懵。别担心，我会一步步拆解，把每一步的思路和操作都讲清楚，保证你能跟上～

首先，这个方程属于二元二次丢番图方程，和你之前学的线性方程（比如$ax+by=c$）不一样，但我们可以用一个叫「西蒙最喜欢的因式分解技巧（SFFT）」的方法，把它转化成我们熟悉的整数乘积问题来解决。

步骤1：凑因式分解的形式 #

原方程是：
$$xy + 114x - 81y = 9245$$
我们的目标是把左边的式子凑成两个一次多项式相乘的形式，比如$(x + m)(y + n)$。先把含$x$的项提出来：
$$x(y + 114) - 81y = 9245$$
现在看后面的$-81y$，我们可以给它凑一个和$(y+114)$相关的项，这样就能把整个左边写成乘积形式。具体操作是：把$-81y$拆成$-81(y + 114) + 81×114$（因为$-81(y+114) = -81y - 81×114$，加回$81×114$就还原成$-81y$了）。代入原方程左边：
$$x(y + 114) - 81(y + 114) + 81×114 = 9245$$
现在左边前两项可以提取公因式$(y+114)$，变成：
$$(x - 81)(y + 114) + 81×114 = 9245$$
计算$81×114$：$80×114=9120$，$1×114=114$，加起来是$9234$。把这个数移到右边：
$$(x - 81)(y + 114) = 9245 - 9234 = 11$$
太棒了！现在方程变成了两个整数的乘积等于11——这就简单多了，因为我们只需要找出所有整数对$(a,b)$，使得$a×b=11$，其中$a=x-81$，$b=y+114$。

步骤2：找出所有整数因数对 #

11是质数，它的整数因数对只有4组（因为正负数都要考虑）：

• $(1, 11)$
• $(11, 1)$
• $(-1, -11)$
• $(-11, -1)$

步骤3：计算对应的x和y值 #

我们把每组因数对代入$a=x-81$和$b=y+114$，分别算出x和y：

1. 当$a=1$，$b=11$时：
   $x - 81 = 1 → x=82$；$y + 114=11 → y=11-114=-103$
   验证：$82×(-103) + 114×82 -81×(-103)=9245$，结果正确。
2. 当$a=11$，$b=1$时：
   $x -81=11 →x=92$；$y+114=1 →y=1-114=-113$
   验证：$92×(-113)+114×92 -81×(-113)=9245$，结果正确。
3. 当$a=-1$，$b=-11$时：
   $x-81=-1 →x=80$；$y+114=-11 →y=-11-114=-125$
   验证：$80×(-125)+114×80 -81×(-125)=9245$，结果正确。
4. 当$a=-11$，$b=-1$时：
   $x-81=-11 →x=70$；$y+114=-1 →y=-1-114=-115$
   验证：$70×(-115)+114×70 -81×(-115)=9245$，结果正确。

最终所有整数解 #

这个丢番图方程的所有整数解是：

• $(82, -103)$
• $(92, -113)$
• $(80, -125)$
• $(70, -115)$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Naifarer