问题背景 #

我现在需要计算如下三维区域的体积：
$$E= { (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 + z^2 ≤1, \sqrt{2}(x^2 + y^2) ≤z≤ \sqrt{6}(x^2 + y^2) }$$
我分析出这个区域是球面$x^2 + y^2 + z^2 = 1$内部，同时夹在两个旋转抛物面$z=\sqrt{2}(x^2 + y^2)$和$z= \sqrt{6}(x^2 + y^2)$之间的部分。

我的推导过程 #

考虑到这个区域是绕z轴旋转对称的，我一开始想到可以用古尔丁定理，但后来觉得用柱坐标计算三重积分更直接：
转换为柱坐标$(\rho, \theta, z)$后，区域E对应为：
$$F= { (\rho, \theta, z): \rho^2 + z^2 ≤1, \sqrt{2}\rho^2 ≤z≤ \sqrt{6}\rho^2, 0≤ \theta≤ 2\pi }$$
根据柱坐标下的体积积分公式，体积可以表示为：
$$\text{vol } E = \iiint _{F} \rho , d\rho d\theta dz$$
由于积分区域关于θ对称，我先对θ积分，得到：
$$\text{vol } E = 2\pi \iint _{D} \rho d\rho dz$$

我遇到的问题 #

现在我卡在了如何确定这个二重积分的积分区域$D$上，有没有大佬能给我一点提示？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Neisy Sofía Vadori