这是个特别关键的问题，刚接触反函数和三角函数的同学几乎都会碰到这个困惑，我来给你理清楚其中的逻辑：

首先得明确一个核心前提：一个函数存在反函数的必要且充分条件是它是双射——也就是既是单射（每个输入对应唯一输出）又是满射（值域里的每个值都能被定义域里的某个输入映射到）。

回到正弦函数本身，你提到的sin: (-∞, +∞) → [-1, 1]完全正确：它的定义域是全体实数，值域是[-1,1]。但这时候它不是单射——比如sin(π/6) = sin(5π/6) = 1/2，同一个输出值对应了多个输入的角度，这就导致如果直接给这个“完整版”的sin找反函数，会出现一个输入（比如1/2）对应多个输出（π/6、5π/6、π/6+2π……）的情况，这显然不符合函数“每个输入只能有唯一输出”的定义。

那怎么解决这个问题呢？答案是给正弦函数的定义域做一个合理的限制，让它在这个受限的区间内变成单射，同时保持值域还是[-1,1]（也就是满射）。

数学里约定俗成的限制区间是[-π/2, π/2]：

• 在这个区间内，sin函数是严格单调递增的，从sin(-π/2) = -1一直到sin(π/2) = 1；
• 每个y ∈ [-1,1]都能找到唯一的x ∈ [-π/2, π/2]使得sin(x) = y。

这时候，这个受限后的正弦函数就满足双射的条件了，它的反函数就是我们常说的arcsin（反正弦函数），对应的映射关系是：
arcsin: [-1, 1] → [-π/2, π/2]

用你提到的函数映射逻辑来看：

• 受限后的sin函数是f: A→B，其中A = [-π/2, π/2]，B = [-1,1]；
• 它的反函数f⁻¹就是arcsin: B→A，完全符合反函数的定义，每个输入（B里的数值）都对应唯一的输出（A里的角度）。

简单总结一下：完整定义域的sin确实没有反函数，但通过限制定义域到一个单调区间，让它成为双射后，反函数（arcsin）就存在了，这也是所有三角函数反函数的定义逻辑哦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者cooooool