嗨，这个问题问得很到位，你的直觉完全正确——仅凭借$A\vdash B$的单向推导，是无法保证$\phi(B)$一定成立的，咱们用几个简单的反例就能把这个道理讲清楚：

• 第一个反例：让$\phi(A)$就是$\neg A$（命题A的否定）。假设A是“今天下雨”，B是“今天室外潮湿”，显然$A\vdash B$成立（下雨必然导致室外潮湿）。如果$\phi(A)$成立，也就是“今天不下雨”为真，但$\phi(B)$是“今天室外不潮湿”，这显然不一定成立——比如今天没下雨，但有人往室外泼了水，室外照样潮湿。这就直接说明，满足$\phi(A)$和$A\vdash B$的前提下，$\phi(B)$可能不成立。

• 再换一个例子：设$\phi(A)$为$A\rightarrow C$，A是“x是偶数”，B是“x是整数”，C是“x是2的倍数”。这里$A\vdash B$显然成立（偶数一定是整数），$\phi(A)$“如果x是偶数，那么x是2的倍数”是个真命题，但$\phi(B)$“如果x是整数，那么x是2的倍数”明显是假命题（比如x=3是整数，但不是2的倍数）。

而你提到的双向推导$A\vdash B$且$B\vdash A$（也就是A和B逻辑等价）的情况，替换后$\phi(B)$一定成立，这是因为等价命题在任何公式里替换，都不会改变公式的真值——毕竟两者的逻辑意义完全相同。

总结一下：单向推导只能保证A的真值能传递给B，但公式$\phi$可能包含否定、蕴含这类会“反转”推导方向的连接词，所以无法保证替换后的$\phi(B)$依然成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Graviton