嘿，我看你卡在这个内切圆半径的问题上两天了，太能理解这种越算越懵的感觉了！其实你遇到的「0=0」问题，是因为列的方程有冗余——四个方程里其实只有两个独立的，剩下的都是对称重复的，所以才会消到最后没结果。

先明确咱们的几何条件：

• 两个四分之一圆：一个圆心在(0,0)、半径1，方程是 $x^2 + y^2 = 1$；另一个圆心在(1,0)、半径1，方程是 $(x-1)^2 + y^2 = 1$
• 内切圆的圆心是 $(\frac{1}{2}, r)$，半径为r（因为它和x轴相切，圆心y坐标等于半径），方程是 $(x-\frac{1}{2})^2 + (y-r)^2 = r^2$

为什么你的方程会解出0=0？ #

你列的四个方程里，第一个和第三个其实是对称等价的——左交点$(x_1,y)$满足左四分之一圆方程，右交点$(x_2,y)$满足右四分之一圆方程，但因为对称性$x_2=1-x_1$，代入第三个方程会发现它和第一个方程完全一样；同理第二个和第四个方程也是对称等价的。你相当于重复列了相同的方程，解的时候自然会得到$0=0$。

两种靠谱的求解方法 #

方法一：利用圆心距快速求解（最简便）

因为内切圆和两个四分之一圆相切，所以四分之一圆的圆心到内切圆圆心的距离，等于四分之一圆半径 - 内切圆半径（内切的几何性质）。

以左四分之一圆圆心(0,0)到内切圆圆心$(\frac{1}{2},r)$为例，直接列方程：
$$\sqrt{\left(\frac{1}{2} - 0\right)^2 + (r - 0)^2} = 1 - r$$

两边平方消去根号：
$$\left(\frac{1}{2}\right)^2 + r^2 = (1 - r)^2$$

展开右边并化简：
$$\frac{1}{4} + r^2 = 1 - 2r + r^2$$
两边消去$r^2$：
$$\frac{1}{4} = 1 - 2r$$
移项计算得：
$$2r = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \implies r = \frac{3}{8}$$

方法二：通过交点方程求解（验证你的思路）

如果想用你最开始的交点思路，只需要取一组独立方程即可，比如左交点的两个方程：

1. $x_1^2 + y^2 = 1$（左四分之一圆）
2. $(x_1 - \frac{1}{2})^2 + (y - r)^2 = r^2$（内切圆）

先展开第二个方程：
$$x_1^2 - x_1 + \frac{1}{4} + y^2 - 2ry + r^2 = r^2$$
消去$r^2$后整理：
$$x_1^2 + y^2 - x_1 + \frac{1}{4} - 2ry = 0$$

把第一个方程$x_1^2 + y^2 = 1$代入上式：
$$1 - x_1 + \frac{1}{4} - 2ry = 0$$
整理得到$x_1$的表达式：
$$x_1 = \frac{5}{4} - 2ry \tag{3}$$

再把(3)代入第一个方程$x_1^2 + y^2 = 1$，代入$r=\frac{3}{8}$验证：
$$\left(\frac{5}{4} - 2*\frac{3}{8}y\right)^2 + y^2 = 1$$
化简得：
$$\left(\frac{5}{4} - \frac{3}{4}y\right)^2 + y^2 = 1$$
展开后整理：
$$25y^2 - 30y + 9 = 0$$
这是完全平方：
$$(5y - 3)^2 = 0 \implies y = \frac{3}{5}$$

再代入(3)得$x_1=\frac{4}{5}$，验证内切圆方程完全符合，说明结果正确。

核心问题就是你列的方程有冗余，去掉重复的部分后，不管用圆心距还是交点方程，都能顺利解出半径$r=\frac{3}{8}$啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Poseydon