我来帮你梳理这个椭圆积分的求解思路，先明确核心问题和相关定义：

首先，完全椭圆积分第一类$K(x)$的定义为：
$$K(x) = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}\sqrt{1-x2t^2}} dt \quad (|x|<1)$$
我们的目标是找到以下积分的闭合表达式：
$$\int_{0}^{1}K\left ( \sqrt{1-x^2} \right )K\left ( \sqrt{1-x^4} \right )dx$$

你提到的两个观察点很有价值，我帮你整理并补充一些延伸思路：

观察1：利用已知积分公式的局限与突破方向 #

我们已经有一个现成的积分结果：
$$\int_{0}^{1}xn K\left ( \sqrt{1-x^2} \right )dx = \frac{\pi}{4} \frac{\Gamma\left ( \frac{n+1}{2} \right )^2 }{ \Gamma\left ( \frac{n+2}{2} \right )^2}$$
你担心的$K\left ( \sqrt{1-x^4} \right )$在$x=0$处的展开问题其实可以通过椭圆积分的标准幂级数展开解决：
$$K(k) = \frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left( \frac{(2n)!}{4^n(n!)2} \right)^2 k^{2n}$$
把$k = \sqrt{1-x^4}$代入后可得：
$$K\left ( \sqrt{1-x^4} \right ) = \frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left( \frac{(2n)!}{4^n(n!)2} \right)^2 (1-x⁴⁾n$$
接下来可以尝试将这个展开式代入原积分，在验证一致收敛性后交换积分与求和顺序，再用你给出的已知积分公式计算每一项，最后得到级数形式的结果，再尝试将其化简为Gamma函数、超几何函数这类特殊函数的闭合形式。

观察2：变量替换后等价形式的潜在价值 #

你通过变量替换得到了积分的等价形式：
$$\int_{0}^{1}K\left ( \sqrt{1-x^2} \right )K\left ( \sqrt{1-x^4} \right )dx=2\int_{0}^{1} \frac{K\left ( \frac{x}{\sqrt{1+x^2} } \right )K\left ( \sqrt{1-x^4} \right ) }{ \sqrt{1+x^2} }dx$$
这个形式可以结合椭圆积分的变换公式（比如Legendre变换、Landau变换等）尝试简化，或许能把其中一个椭圆积分转化为更易处理的形式，再结合乘积积分的技巧（比如利用双变量超几何函数的积分表示）推进。比如Appell函数$F_1$常用来表示两个椭圆积分乘积的积分，你可以往这个方向探索。

另外，也可以尝试做变量替换$x^2 = t$，将原积分转化为：
$$\frac{1}{2}\int_{0}^{1}K\left ( \sqrt{1-t} \right )K\left ( \sqrt{1-t^2} \right )t^{-1/2}dt$$
这个形式可能更容易和已知的特殊函数积分对应起来。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者蜜柑しぇっり