问题场景 #

各位好，我现在卡在一个概率计算问题上了，想请大家帮忙看看逻辑对不对：

一名学生参加有50道题的多选题考试，每道题有4个选项，只有1个正确答案。如果要求答对一半（也就是25道）才算通过，纯靠运气通过的概率是多少？

我的推导过程 #

我先从2道题的简化场景入手分析：假设每道题的正确答案是固定的（比如每道题的第一个选项为正确项），通过要求是答对至少1道题（毕竟2道题的一半是1道）。
我算出来总共有$4^2=16$种填答案的组合方式，其中有7种是满足通过条件的，所以这个场景下的通过率是$7/16$。

接着我尝试把这个逻辑推广到n道题（n为偶数）的情况，得出符合通过要求的填法总数公式：
$$\frac{n!}{(n/2)!(n/2)!}\cdot(4^{(n/2)}-1)+1$$

把n=50代入计算后，得到的通过率是：
$$\frac{1.42325\cdot10^{29}}{4{50}}=0.11227$$

我的困惑 #

但我总觉得这个概率数值有点偏大，是不是我在2道题案例里的逻辑本身就有问题？麻烦大家帮忙捋一捋~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者In the blind