嘿，关于你这个积分极限的问题，咱们来一步步拆解你的思路，看看哪里需要调整～

首先直接给结论：你之前的解法是有问题的，核心错误在于对勒贝格控制收敛定理的应用条件理解不到位，而且忽略了积分区间随n变化的影响。咱们来慢慢说：

关于控制收敛定理的适用性 #

你提到想用控制收敛定理，但这里有两个关键问题：

• 控制收敛定理要求积分域是固定的测度空间子集，但你的积分区间是$[0,n]$，是随n不断扩大的，不符合定理的前提；
• 你选的控制函数$g(x)=1$在$[0,∞)$上是不可积的（积分结果是无穷大），也不满足定理中“控制函数需在整个空间可积”的要求。

所以直接套用控制收敛定理到原积分上是行不通的。

正确的解题思路：变量替换转化积分 #

对付这种积分区间随n变化的问题，最常用的技巧就是变量替换，把变化的区间转化为固定区间。咱们来做个替换：
令$t = \frac{x}{n}$，则$x = nt$，对应的测度元$dλ(x) = n dt$。当x从0到n时，t恰好从0到1，完美变成固定区间$[0,1]$。

把替换代入原积分：
$$
\begin{align*}
J_n&=\int_{[0,n]}\left(\frac{1}{n}\left(1+\frac{x}{n}\right)e^{\frac{-x}{n}}\right)dλ(x)\
&=\int_{0}^{1} \frac{1}{n}(1+t)e^{-t} \cdot n dt\
&=\int_{0}^{1} (1+t)e^{-t} dt
\end{align*}
$$
你看！化简后积分结果和n完全无关，是个固定值！这说明$J_n$其实是个常数序列，它的极限就是这个固定积分的值。

计算这个固定积分 #

咱们用分部积分法来计算：
设$u = 1+t$，$dv = e^{-t}dt$，则$du = dt$，$v = -e^{-t}$。根据分部积分公式$\int u dv = uv - \int v du$：
$$
\int (1+t)e^{-t}dt = -(1+t)e^{-t} + \int e^{-t}dt = -(1+t)e^{-t} - e^{-t} + C = -(t+2)e^{-t} + C
$$
代入上下限0到1：
$$
\left[ -(1+2)e^{-1} \right] - \left[ -(0+2)e^{0} \right] = -\frac{3}{e} + 2 = 2 - \frac{3}{e}
$$

回头看你的错误根源 #

你之前认为极限是0，是因为只看到了被积函数在固定x处趋向0，但忽略了积分区间在不断扩大——当n增大时，积分区间的长度是n，而被积函数在区间内的“平均大小”并没有趋向0，两者抵消后积分值保持不变。这也是为什么不能直接把极限拿到积分符号里的原因。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Marco Di Giacomo