嘿，我来帮你理清楚这个问题。首先咱们得先明确诱导同态到底是怎么定义的，以及为什么良定义性是必不可少的前提。

首先，基本群$\pi_1(X,x_0)$里的元素不是单个环路，而是基于$x_0$的环路的同伦类——也就是说，两个环路$\alpha$和$\beta$如果能通过一个固定$x_0$的同伦连接起来，它们就代表基本群里的同一个元素，记作$[\alpha]=[\beta]$。

当我们定义诱导同态$h_: \pi_1(X,x_0) \to \pi_1(Y,y_0)$时，我们说$h_([\alpha]) = [h \circ \alpha]$——也就是把环路的同伦类映射到$h$复合这个环路后的同伦类。这里就有个关键问题：这个定义是不是“靠谱”的？换句话说，如果$\alpha$和$\beta$属于同一个同伦类（$[\alpha]=[\beta]$），那$h \circ \alpha$和$h \circ \beta$是不是也属于同一个同伦类？这就是所谓的良定义性。

你教授强调这一点，是因为如果$h_$不是良定义的，那谈论$h_=k_$就完全没有意义——你连$h_$是不是一个合法的函数都没确认，怎么能说两个函数相等呢？

举个具体的例子：假设你随便拿一个环路$\alpha$，定义$h_([\alpha])=[h \circ \alpha]$，但如果存在另一个环路$\beta$和$\alpha$同伦，可$h \circ \alpha$和$h \circ \beta$不同伦，那$h_$就不是一个从基本群到基本群的函数——因为同一个输入（$[\alpha]=[\beta]$）会对应不同的输出，这根本不是函数该有的样子。

那怎么证明$h_*$是良定义的呢？其实很简单：

• 假设$\alpha \sim \beta$（基于$x_0$的同伦），也就是存在同伦$F: I \times I \to X$，满足$F(t,0)=\alpha(t)$，$F(t,1)=\beta(t)$，且对所有$s \in I$，$F(0,s)=F(1,s)=x_0$。
• 那么$h \circ F$就是$h \circ \alpha$和$h \circ \beta$之间的同伦：$h \circ F(t,0)=h(\alpha(t))$，$h \circ F(t,1)=h(\beta(t))$，而且因为$h(x_0)=y_0$，所以$h \circ F(0,s)=h(F(0,s))=h(x_0)=y_0$，同理$h \circ F(1,s)=y_0$——这完全符合固定基点同伦的要求。
• 所以$[h \circ \alpha] = [h \circ \beta]$，也就是说$h_([\alpha])=h_([\beta])$，这就证明了$h_*$的定义不依赖于同伦类代表元的选择，是良定义的。

同理，$k_*$的良定义性也是用同样的方法证明的。

你之前可能直接跳过了这一步，去证明对每个$[\alpha]$，$h_([\alpha])=k_([\alpha])$，但教授是在提醒你：先得确保你讨论的$h_$和$k_$都是合法的同态（首先得是合法的函数），再去证明它们相等。这是代数拓扑里很基础的逻辑顺序——先确认映射是良定义的，再谈它的性质（比如相等、同态性等等）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user965463