嘿，这个问题挺有意思的——咱们先把已知的例子理清楚，再一步步推通用解法，顺便聊聊你说的递推思路怎么优化。

首先先明确你给出的低维等距点集（都是正则单纯形的顶点）：

• 1维空间（N=2）的2个等距点：(1), (-1)，对应线段
• 2维空间（N=3）的3个等距点：(0, 2), (1.732, -1), (-1.732, -1)（注：1.732是√3的近似值），对应等边三角形
• 3维空间（N=4）的4个等距点：(1,1,1), (1,-1,-1), (-1,1,-1), (-1,-1,1)，对应正四面体

先解决你的第一个小问题：4维空间的5个等距点 #

用递推思路从3维的点集扩展的话，我们可以这么做：

1. 把3维的4个点都加一个0分量，变成4维点：(1,1,1,0), (1,-1,-1,0), (-1,1,-1,0), (-1,-1,1,0)
2. 找一个新点，让它到这4个点的距离都等于原来的两两距离（也就是2√2）。计算后得到这个点可以是(0,0,0,√5)（或者(0,0,0,-√5)）

现在这5个点两两之间的距离都是2√2，完全符合要求。

通用生成方法（一步到位，无需递推） #

如果要生成任意N≥2时，(N-1)维空间里的N个等距点，有个直接的公式可以一步构造，效率很高：

我们可以构造中心在原点的正则单纯形顶点，步骤如下：

1. 第1个点：(1, 0, 0, ..., 0)（共N-1个分量）
2. 第k个点（2≤k≤N）：第1个分量为-1/(N-1)，第k-1个分量为√(N/(N-1))，其余分量为0

这个构造出来的点两两距离相等，你可以验证低维情况：

• N=3时，点是(1,0), (-1/2, √(3/2)), (-1/2, -√(3/2))，两两距离都是√3，和用户的例子只是缩放和平移的区别，本质一致。

关于你提到的递推思路：其实并不慢 #

你说的从低维到高维逐步找下一个点的思路是可行的，而且可以写成代码快速实现，根本不“慢”。核心优化后的步骤是：

1. 假设已经有了m维空间中的m+1个等距点（中心在原点），把每个点都加一个0分量，扩展到m+1维空间。
2. 新增点的坐标是(0, 0, ..., 0, c)，其中c是常数，满足c² = d² - R²——这里d是原来点的两两距离，R是原来点的模长。
3. 因为原来的点是中心在原点的正则单纯形，所以R² = (m * d²) / (2*(m+1))，代入后就能算出c的值。

比如从3维到4维的例子，d=2√2，R=√3，所以c² = 8 - 3 =5，c=√5，和之前的结果一致。

这种递推方式每一步只需要计算一个常数，然后扩展坐标，代码实现起来非常高效，完全不用担心速度问题。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者porente