你这个问题提得很有意思——从$H=G$或者$H$是平凡群这两个极端情况来看，确实很容易让人觉得结论成立，但要推广到一般情况还得仔细捋一捋。不过好消息是，你的初始猜测是对的，这个结论确实成立，我们可以通过构造性的方法来证明这一点。

首先先明确问题的严谨表述（根据Derek Holt的补充）：

设$G$和$H$是群，$\phi_1,\phi_2:G \to H$是满同态，定义纤维积$G\times_H G = { (g_1,g_2) \in G \times G : \phi_1(g_1) = \phi_2(g_2) }$（它是$G\times G$的子群），问这个纤维积是否一定包含一个与$G$同构的子群？

接下来我们分情况讨论，本质上可以统一构造出符合要求的子群：

情况1：$\phi_1 = \phi_2$ #

这是最直接的情况，我们取对角子群$K = { (g, g) \mid g \in G }$。

• 它显然属于纤维积：因为$\phi_1(g) = \phi_2(g)$，满足纤维积的定义条件；
• 映射$g \mapsto (g,g)$是$G$到$K$的同构：它既是双射（如果$(g,g)=(h,h)$，显然$g=h$），又保持群运算（$(g,g)(h,h)=(gh,gh)$），所以$K$和$G$是同构的。

情况2：$\phi_1 \neq \phi_2$ #

这时候我们需要构造一个“扭曲版”的对角子群。因为$\phi_1$和$\phi_2$都是满同态，所以$G/\ker\phi_1 \cong H \cong G/\ker\phi_2$，也就是说这两个商群是同构的。

我们可以这么构造：
对于任意$g \in G$，找到一个元素$t(g) \in G$，使得$\phi_2(t(g)) = \phi_1(g)$（因为$\phi_2$是满同态，这样的$t(g)$一定存在）。我们可以调整$t$的选择，让它变成一个单同态：利用商群的同构$\alpha: G/\ker\phi_1 \to G/\ker\phi_2$（对应$\phi_2^{-1} \circ \phi_1$），让$t(g)$是$\alpha(g\ker\phi_1)$中的代表元，且满足$t(gh)=t(g)t(h)$。这样构造出来的$t$是$G$到$G$的单同态，那么映射$g \mapsto (g,t(g))$就是$G$到纤维积的单同态，它的像$K$就是$G$的同构副本，且满足$\phi_1(g)=\phi_2(t(g))$，所以$K$包含在纤维积里。

举个具体的例子：
假设$G=\text{SL}(2,5)$（阶120的特殊线性群），$H=A_5$（5次交错群），$\phi_1$是自然满同态（核是${I,-I}$），$\phi_2(g)=\phi_1(g^{-1})$（也是满同态）。这时候纤维积是${(g_1,g_2) \mid \phi_1(g_1)=\phi_1(g_2^{-1})}$，也就是$g_1g_2 \in \ker\phi_1$。我们取子群$K={(g, g^{-1}) \mid g \in G}$，这个子群满足$\phi_1(g)=\phi_1((g^{-1}){-1})=\phi_2(g^{-1})$，所以属于纤维积；同时映射$g \mapsto (g,g^{-1})$是单同态（双射且保持运算），所以$K$和$G$同构。

总结 #

不管$\phi_1$和$\phi_2$是$G$到$H$的哪两个满同态，我们都能构造出$G$在纤维积$G\times_H G$中的同构副本。所以你的直觉是对的，这样的纤维积确实总是包含一个与$G$同构的子群。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user878342