嗨，很高兴能帮你梳理这个算法分析里的函数增长问题！咱们分两部分来解决：先证明(log n)^(n/2) < n!，再验证你给出的增长序列是否正确。

一、证明(log n)^(n/2) < n! #

这里给你两种直观的证明思路，考试里用哪种都可以：

方法1：拆分阶乘下界 #

对于足够大的n（比如n≥2），我们可以把n!拆分成前半部分和后半部分的乘积：

n! = (1×2×…×⌊n/2⌋) × (⌊n/2⌋+1 × … × n)

后半部分的每一项都大于n/2，而且至少有n/2个这样的项，因此：

n! > (n/2)^(n/2)

接下来只需要证明当n足够大时，n/2 > log n——这显然成立，因为线性函数的增长速度远快于对数函数。由此可得：

(n/2)^(n/2) > (log n)^(n/2)

结合上面两个不等式，就推出了n! > (log n)^(n/2)。

方法2：利用斯特林公式（更严谨的渐近分析） #

斯特林公式给出了n!的渐近近似：

n! ~ √(2πn) × (n/e)^n

对两边取自然对数，得到：

ln(n!) ≈ n ln n - n + (1/2)ln(2πn)

再看左边(log n)^(n/2)的对数：

ln((log n)^(n/2)) = (n/2) ln(log n)

现在比较两者的对数增长速度：当n足够大时，n ln n是主导项，它的增长速度远远超过(n/2) ln(log n)（毕竟ln n比ln(log n)快得多）。因此ln(n!)最终会远大于ln((log n)^(n/2))，原不等式成立。

二、验证你的增长序列是否正确 #

你给出的序列是：

28 < log n^{2020} < 5n^{3/7} < 2^{n{1/2}} < (log n)^{n/2} < n! < n^n

咱们逐个分析每个相邻对的增长关系（所有结论都针对n足够大的渐近情况）：

• 28 < log n^{2020}：28是常数，log n^{2020}=2020 log n是对数函数，对数函数最终会超过任何常数，正确。
• log n^{2020} < 5n^{3/7}：对数函数的增长速度慢于任何正次数的多项式，哪怕次数是3/7这种小正数，正确。
• 5n^{3/7} < 2^{n{1/2}}：底数大于1的指数函数（这里指数是√n）增长速度远快于任何多项式，因为√n的增长速度比ln n快，而多项式n^k等价于e^{k ln n}，指数函数2^{√n}等价于e^{√n ln2}，后者增长更快，正确。
• 2^{n{1/2}} < (log n)^{n/2}：两边取对数，左边是√n × ln2，右边是(n/2) × ln(log n)。当n足够大时，n/2 × ln(log n)的增长速度是线性级别的，远快于√n的亚线性增长，正确。
• (log n)^{n/2} < n!：就是我们刚才证明的结论，正确。
• n! < n^n：n!是1到n的乘积，每个因子都≤n，且当n>1时至少有一个因子小于n，因此乘积严格小于n^n，正确。

综上，你的整个增长序列在渐近意义下是完全正确的！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Lena67