我完全理解你现在的困惑——李群里的这些符号一开始确实容易让人摸不着头脑，咱们一步步拆解清楚：

先搞懂「群元素v到底是什么」 #

对于$\mathbb{R}^n$这个李群来说，它的群运算就是向量加法，所以这里的$v \in \mathbb{R}^{n$就是群里的一个普通元素——说白了就是$\mathbb{R}}n$里的一个向量，比如$\mathbb{R}^2$里的$(1,2)$就是一个典型的群元素。它不是什么变换或者群动作，就是构成这个群的基本成员。

左平移映射$L_v: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$的核心含义 #

左平移的本质就是「用群元素v从左边“作用”到群里的每一个元素上」，对应到$\mathbb{R}^n$的加法群场景下，就是把每个向量x都加上v。用公式明确写出来就是：
$$L_v(x) = v + x$$
举个具体例子，假设$\mathbb{R}^2$里的v=(1,2)，那$L_v$这个映射就是把平面上所有点$(x_1, x_2)$都映射成$(x_1+1, x_2+2)$——这就是整个平面沿着向量v做平移，这也是“左平移”名字的直观来源。

放到更一般的李群G里，左平移$L_g: G \to G$（g是G中的任意元素）的逻辑是完全一致的：用G的群运算把g和G里的每个元素h结合，即$L_g(h) = g \cdot h$，这里的$\cdot$就是G的群运算（对$\mathbb{R}^n$是加法，对GL(n)就是矩阵乘法）。比如GL(n)（n阶可逆矩阵群）里的左平移$L_A$（A是某个可逆矩阵），就是把每个可逆矩阵B映射成$A \times B$（矩阵乘法）。

群运算符号$\mu: G \times G \to G$的意义 #

你的理解完全正确！这个$\mu$就是群运算的抽象函数表示：它接收G里的任意一对元素$(g_1, g_2)$，通过群运算将它们映射成G里的另一个元素，即$\mu(g_1, g_2) = g_1 \cdot g_2$。这个符号其实就是把群的「封闭性」用函数形式写出来——不管你怎么组合G里的两个元素，结果一定还在G这个集合里，这是群的基本性质之一。

比如对$\mathbb{R}^n$，$\mu(v_1, v_2) = v_1 + v_2$；对GL(n)，$\mu(A,B) = A \times B$（矩阵乘法），本质都是对应群的运算规则。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ciyer