嘿，这个问题问得很好！你能想到用对称性简化积分，说明你对积分的本质有不错的理解，而且你的计算结果一致也不是巧合——在这个特定问题里，你的做法确实是数学上完全正确的，但这里有个关键前提需要明确，不是所有对称区域都能直接这么用，得结合被积函数的性质来看。

首先看你的积分区域D，它是顶点在$(0,1)$、$(1,0)$、$(-1,0)$的三角形，显然这个区域是关于y轴对称的——把x换成-x，区域完全不变。这是对称性应用的第一个条件：区域本身具备对称性质。

接下来看被积函数$f(x,y)=2y-1$，你会发现这个函数里根本没有x的项，也就是说$f(-x,y)=2y-1=f(x,y)$，这意味着被积函数是关于x的偶函数（即关于y轴对称的点上函数值相等）。

对于关于y轴对称的区域D，我们可以把它拆成右半部分$D_1$（$x≥0$的区域）和左半部分$D_2$（$x≤0$的区域）：

• 因为$D_2$和$D_1$关于y轴对称，做变量替换$x'=-x$后，$D_2$的积分就转化为$D_1$的积分；
• 又因为被积函数在对称点上取值相等，即$f(-x,y)=f(x,y)$，所以$\iint_{D_2} f(x,y)dA = \iint_{D_1} f(-x,y)dA = \iint_{D_1} f(x,y)dA$。

这样整个积分就等于$\iint_{D_1} f dA + \iint_{D_2} f dA = 2\iint_{D_1} f dA$，这就是你做法的数学依据。

不过要特别注意，这个简化方法的适用是有严格条件的：

• 首先区域必须具备明确的对称性（比如关于y轴、x轴或原点对称）；
• 其次被积函数要对应地具备奇偶性：
  • 如果区域关于y轴对称，只有当被积函数是x的偶函数（$f(-x,y)=f(x,y)$）时，才能用“一半区域积分乘2”的方法；
  • 如果被积函数是x的奇函数（$f(-x,y)=-f(x,y)$），那整个积分直接等于0，这时候就不能用乘2的方法了。

举个反例：如果你的被积函数是$f(x,y)=x$，那$\iint_D x dA$的结果就是0——因为x是关于x的奇函数，对称区域上的正负积分会完全抵消，这时候如果硬算一半乘2就会得到错误结果。

回到你的问题，因为你的被积函数不依赖x，天然是x的偶函数，同时区域关于y轴对称，所以你的做法完全正确，结果一致也是必然的。以后遇到类似问题，先检查区域对称性，再对应看被积函数的奇偶性，就能判断能不能用这种简化方法啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sj2704