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多项式最小二乘拟合步骤疑问:从步骤9到求解$a_0,a_1,a_2$的困惑

多项式最小二乘拟合步骤疑问:从步骤9到求解$a_0,a_1,a_2$的困惑

嘿,我完全懂你这种卡在步骤衔接处的迷茫感!咱们慢慢捋,把这个坎儿迈过去~

首先说从步骤9到求解$a_0,a_1,a_2$的路径:
一般来说,步骤9应该是推导到了最小二乘的正规方程组阶段。对于二次多项式拟合$y = a_0 + a_1x + a_2x^2$,最小二乘的核心是让所有数据点的误差平方和最小,对$a_0,a_1,a_2$分别求偏导并令其为0,最终会得到三个线性方程组成的方程组:

  • $\sum y = n a_0 + a_1 \sum x + a_2 \sum x^2$
  • $\sum xy = a_0 \sum x + a_1 \sum x^2 + a_2 \sum x^3$
  • $\sum x^2y = a_0 \sum x^2 + a_1 \sum x^3 + a_2 \sum x^4$
    这里的$n$是你手头的数据点总数,所有$\sum$符号都是对全部数据点的对应项求和。你只需要把自己的$x$和$y$数据代入,算出所有求和项的具体数值,然后解这个三元一次方程组,就能得到$a_0,a_1,a_2$的具体值了。

再说说步骤10和步骤9的关联:
步骤10绝对不是凭空冒出来的,它大概率是步骤9的落地补充——要么是教你用更简洁的形式(比如矩阵形式$Ax = b$)来表示这个方程组,方便后续计算;要么是给你举了一个具体的例子,把数据代入方程组演示求解过程;甚至可能是告诉你如何验证解出来的系数是否合理(比如代入数据点看拟合误差是否真的最小)。简单来说,步骤9是给你搭好了“求解框架”,步骤10就是教你怎么把这个框架用起来,本质都是为了帮你顺利算出那三个系数。

如果你能把步骤9和10的具体内容再补充一下,我还能帮你拆解得更细致哦~

备注:内容来源于stack exchange,提问作者Kirsten

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