嘿，这个问题问得特别好——很多人刚接触康托尔集的时候都会被这种矛盾感搞懵，我来一步步给你理清楚：

结论先行：康托尔集 $P = \bigcap E_n$ 里不存在任何长度大于0的区间 $[a,b]$（$a≠b$），它是由不可数多个单点组成的集合，但这些单点里不仅有各次迭代中剩余区间的端点，还有像 $\frac{1}{4}$、$\frac{3}{4}$ 这样的「非端点」单点。

拆解你的两个假设： #

• 关于第一个假设的误区：你观察到康托尔集包含非端点的额外点，这个是完全正确的，但这些点只是孤立的单点，并不是某个小区间里的所有点。比如 $\frac{1}{4}$，它确实属于每一个 $E_n$，但你找不到任何包含 $\frac{1}{4}$ 的开区间能完全落在康托尔集里——不管这个开区间多小，只要长度大于0，总能找到某个 $m$ 使得 $\frac{1}{3^m}$ 小于区间长度，而 $E_m$ 是由 $2^m$ 个长度为 $\frac{1}{3^m}$ 的闭区间组成的，这个开区间必然会和 $E_m$ 中被挖掉的空隙相交，所以不可能完全包含在 $P$ 里。

• 关于第二个假设的正确性：你给出的推理完全站得住脚！对于任意 $a≠b$ 的区间 $[a,b]$，它的长度 $L = b - a > 0$，我们总能找到足够大的 $m$，使得 $\frac{1}{3^m} < L$。而 $E_m$ 里的每个闭区间长度都是 $\frac{1}{3^m}$，所以 $[a,b]$ 不可能完全包含在 $E_m$ 里（因为它比 $E_m$ 里的每个区间都长，必然会覆盖被挖掉的部分）。既然 $P$ 是所有 $E_n$ 的交集，那 $[a,b]$ 自然也不可能包含在 $P$ 里。这就直接证明了康托尔集里没有任何正长度的区间。

最后再理清一下核心混淆点： #

为什么会有“好像有小区间”的错觉？因为每次迭代的 $E_n$ 都还保留着很多闭区间，看起来像是“越来越小的区间组成的集合”，但当你取无穷次交集之后，这些区间的长度趋近于0，最终剩下的就只是一个个孤立的点——但这些点的数量是不可数的，而且不只是端点，还有很多像 $\frac{1}{4}$ 这样的“中间点”，这也是康托尔集的神奇之处：它是一个不可数的无处稠密闭集（无处稠密就是指它不包含任何正长度区间）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者niobium