一、正确选项判断 #

咱们逐个分析选项，结合莫比乌斯变换的性质来筛选：

• 选项a：f(z)=\frac{z-i}{z+i}，代入单位圆盘中心z=0，得到f(0)=-i，实部为-1<0，直接不符合右半平面（Re(w)>0）的要求，排除。
• 选项b：f(z)=\frac{z-1}{z+1}，代入z=0得f(0)=-1，实部同样为-1<0，排除。
• 选项c：f(z)=\frac{1+z}{1-z}，先代入z=0得f(0)=1，实部1>0，符合右半平面内部的要求。再验证单位圆周（圆盘边界）的映射：取|z|=1的任意点z=e^{iθ}，计算可得f(z)=i cot(θ/2)，这是纯虚数（实部为0），正好对应右半平面的边界（虚轴）。再取圆盘内任意点比如z=0.5，得到f(0.5)=3，实部为正；z=0.5i时，计算得f(0.5i)=\frac{1+0.5i}{1-0.5i}=\frac{0.75+i}{1.25}，实部0.6>0，完全符合要求。
• 选项d：f(z)=i\Big(\frac{1+z}{1-z}\Big)，代入z=0得f(0)=i，实部为0，这是右半平面的边界，而圆盘内的点应该映射到右半平面内部，所以排除。

综上，正确答案是选项c。

二、快速解题技巧 #

要高效搞定这类题目，记住两个核心判断点：

1. 优先验证圆盘中心的映射结果：单位圆盘的中心z=0是最容易计算的点，代入后如果结果的实部≤0，直接排除该选项——因为右半平面要求Re(w)>0，中心作为圆盘内的核心点，必须映射到右半平面内部。
2. 验证边界映射情况：对于剩下的选项，验证单位圆周|z|=1是否被映射到虚轴（Re(w)=0）。可以用代数方法：对于|z|=1，有z\overline{z}=1，计算Re(f(z))=\frac{f(z)+\overline{f(z)}}{2}，如果结果为0，就说明边界被映射到虚轴，符合要求。
   另外，也可以记住几个经典的莫比乌斯变换：f(z)=\frac{1+z}{1-z}就是标准的把单位开圆盘映射到右半开平面的变换，记住这个的话可以直接锁定答案。

三、关于定义域的疑问 #

你提到的“函数在单位圆上某些点无定义”是对的，但这里要明确：题目里说的“单位圆盘”通常指的是开单位圆盘，也就是满足|z|<1的所有点，而那些奇点（比如选项c的z=1）都在单位圆周|z|=1上，属于圆盘的边界，不在开圆盘的内部。所以这些函数在开单位圆盘上是处处解析、有定义的，完全可以作为从开单位圆盘到开右半平面的映射。如果题目特指闭圆盘（包含边界），那确实这些函数在边界点不定义，但复分析里这类区域映射问题默认讨论的是开区域。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者math student