嘿，这个问题问得特别到位！咱们直接给你明确答案：完全可以用保留虚数$i$的部分分式分解来积分，哪怕你是沿着实数$x$轴做积分，这种操作在数学上完全合法。

先拿你举的例子来具体走一遍，比如第一个积分：
$$\int\frac{1}{(x+i)(x-i)}dx$$
我们先做部分分式分解，设：
$$\frac{1}{(x+i)(x-i)} = \frac{A}{x+i} + \frac{B}{x-i}$$
通分后对比分子可得$1 = A(x-i) + B(x+i)$，代入$x=-i$得$1 = A(-2i)$，所以$A = \frac{1}{-2i} = \frac{i}{2}$；代入$x=i$得$1 = B(2i)$，所以$B = \frac{1}{2i} = -\frac{i}{2}$。

接下来积分就很直接了：
$$\int\left(\frac{i/2}{x+i} - \frac{i/2}{x-i}\right)dx = \frac{i}{2}\ln|x+i| - \frac{i}{2}\ln|x-i| + C$$
你看，虽然过程里用到了虚数，但积分步骤和实数情况完全一致。而且这个结果还可以整理成实函数形式：把对数合并后，利用复数的辐角性质，最终能转换成$\frac{1}{2}\arctan x + C$，和直接用$\frac{1}{x^2+1}$积分的结果一致——这说明带虚数的分解不仅合法，还能得到正确的实函数结果。

再说说你关心的一般情况：不管分母的复根是什么，只要能做部分分式分解（单根、重根都适用），都可以用带虚数的分式来拆分积分。本质上，部分分式分解是代数层面的操作，和变量是实还是复无关；积分的规则在复数域里同样成立，就算积分路径是实数轴，用复数系数做分解、积分，最后要么能抵消虚部得到实函数，要么保留复数形式也是完全有效的数学表达式。

你之前担心“积分沿x轴就不能用虚数”，其实完全没必要——虚数在这里只是帮你简化分解过程的工具，整个推导过程都是严谨的，结果也完全可靠。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kamal Saleh