我来逐个帮你拆解这些疑问，都是这个经典向量丛例子里容易卡壳的细节点：

问题1：关于开半球的定义与必要性 #

首先纠正一个误解：这里的开半球不是固定的“最后坐标大于0”的半球，而是以x为“北极点”的开半球——准确来说是$U_x = { y \in S^n \mid \langle y, x \rangle > 0 }$，也就是所有和x内积为正的球面点构成的开集。

为什么必须用开半球而不是闭半球？关键在于边界上的点：如果取闭半球（包含$\langle y,x \rangle=0$的点），那么对于边界上的y，$\pi_x$（正交投影到x的正交补空间）限制在$p^{-1}(y)$（y的正交补空间）上会有非平凡的核，没法构成同构。只有开半球里的点满足$\langle y,x \rangle>0$，才能保证后面$\pi_x$的限制是同构（这个后面问题4会详细说）。

问题2：n=2时的具体情形 #

没错！当x=(0,0,1)时，$U_x$就是上开半球${(a,b,c)\in S^2 \mid c>0}$，对应的超平面是xy平面。当x在$S^2$上移动时，$U_x$就是以x为“北极”的开半球——比如x=(1,0,0)时，$U_x$就是右开半球${(a,b,c)\in S^2 \mid a>0}$，对应的超平面是yz平面。本质上就是把半球的“朝向”跟着x一起旋转，始终包含x本身，且边界是与x正交的超平面和球面的交（那个(n-1)维球面）。

问题3：为什么$p^{-1}(x)$是超平面 #

先明确$p^{{-1}(x)$的定义：$p}{-1}(x) = { v \in \mathbb{R}^{n+1} \mid \langle x, v \rangle = 0 }$，这是$\mathbb{R}^{n+1}$中的一个线性子空间。

$\mathbb{R}^{n+1}$的维度是n+1，而这个子空间由一个非平凡的线性方程$\langle x, v \rangle=0$定义，所以它的维度是$(n+1)-1 = n$——在$\mathbb{R}^{{n+1}$中，n维线性子空间就叫做**超平面**（因为它比整个空间低一个维度）。另外Hatcher说可以把v看成$S}n$的切向量，是因为$S^n$在x点的切空间恰好就是这个超平面（球面在x点的切向量都和径向向量x正交）。

问题4：为什么$\pi_x$限制在$p^{-1}(y)$上是同构 #

要证明这个，我们可以利用有限维线性空间中“单射等价于同构”的性质：

1. 首先，$p^{{-1}(y)$和$p}{-1}(x)$都是n维线性空间（都是$\mathbb{R}^{n+1}$的超平面），维度相同。
2. 我们只需要证明$\pi_x$在$p^{-1}(y)$上是单射：假设$\pi_x(v)=0$，其中$v \in p^{-1}(y)$（也就是$\langle y, v \rangle=0$）。
   • 正交投影$\pi_x(v)$的定义是$v - \langle v, x \rangle x$，所以$\pi_x(v)=0$意味着$v = t x$，其中t是实数。
   • 代入$\langle y, v \rangle=0$，得到$t \langle y, x \rangle=0$。而y属于$U_x$，根据$U_x$的定义$\langle y, x \rangle>0$，所以只能t=0，即v=0。
3. 单射成立，而两个空间维度相同，所以$\pi_x$的限制是线性同构。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user3118