嗨，我来帮你理清这个二重无穷级数的计算思路～你尝试交换求和顺序的方向是对的，不过看起来你把求和符号误写成了积分符号$\int_{\mathbb{N}}$，我们修正这个小失误后重新推导：

首先，原级数是：
$$\sum_{k=0}^{{\infty}{\sum_{n=0}}{\infty}{\frac{(-1)^{n+k}nk}{5^n k!}}}$$

第一步，我们可以先交换两个无穷级数的求和顺序（后续会验证这个操作的合法性），把级数改写为：
$$\sum_{n=0}^{{\infty}\frac{(-1)}n}{5^n}\sum_{k=0}{\infty}\frac{(-1)^k n^k}{k!}$$

接下来看内层的级数$\sum_{k=0}^{{\infty}\frac{(-n)}k}{k!}$，这其实是指数函数的泰勒展开式：我们知道$e^x = \sum_{k=0}^{{\infty}\frac{x}k}{k!}$，当$x=-n$时，就有：
$$\sum_{k=0}^{{\infty}\frac{(-n)}k}{k!} = e^{-n}$$

把这个结果代入外层级数，就得到一个等比级数：
$$\sum_{n=0}^{{\infty}\frac{(-1)}n}{5^n}e{-n} = \sum_{n=0}^{{\infty}\left(-\frac{1}{5e}\right)}n$$

这个等比级数的首项$a=1$，公比$r=-\frac{1}{5e}$，因为$|r|=\frac{1}{5e} \approx \frac{1}{13.59}<1$，满足收敛条件，根据等比级数求和公式$\sum_{n=0}^\infty r^n = \frac{1}{1-r}$，可以算出它的和为：
$$\frac{1}{1 - \left(-\frac{1}{5e}\right)} = \frac{5e}{5e + 1}$$

最后补充一下交换求和顺序的合法性：我们可以验证原级数是绝对收敛的。计算绝对值级数$\sum_{k=0}^{\infty\sum_{n=0}}\infty \frac{n^k}{5n k!}$，内层$\sum_{n=0}^\infty \frac{n^k}{5n}$对任意$k$都收敛（比值判别法可证），而外层求和可转化为$\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^\infty \frac{n^k}{k! \cdot 5^n} = \sum_{n=0}^\infty \frac{e^n}{5n}$，因为$\frac{e}{5}\approx0.543<1$，这个级数收敛，因此原级数绝对收敛，根据无穷级数的交换律，交换求和顺序是完全合法的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Techlover