嘿，这个问题问到点子上了——毕竟曲线是我们把抽象切向量具象化的核心方式，答案是肯定的：每一个$p$点处的切向量都能被$\operatorname{Curve}_p (M)$中的一条光滑曲线诱导出来。下面我给你一步步构造并验证这个结论：

构造诱导曲线的具体步骤 #

1. 取局部坐标卡：任取$p$点附近的一个坐标卡$(\chi, U)$，对于给定的切向量$v \in T_p M$，它在这个坐标卡下的分量是$v^\chi \in \mathbb{R}^m$。
2. 欧氏空间里构造直线：在$\mathbb{R}^m$中定义一条光滑直线：
   $$\gamma_{\mathbb{R}}(t) = \chi(p) + t \cdot v^\chi$$
   因为$\chi(U)$是$\mathbb{R}^m$中的开集，我们总能找到足够小的$\epsilon > 0$，使得当$t \in (-\epsilon, \epsilon)$时，$\gamma_{\mathbb{R}}(t)$完全落在$\chi(U)$内部。
3. 拉回至流形得到曲线：把这条直线通过坐标卡的逆映射拉回到流形$M$上，定义：
   $$\gamma(t) = \chi^{-1}\left(\gamma_{\mathbb{R}}(t)\right)$$
   显然$\gamma$满足$\gamma(0) = \chi^{-1}(\chi(p)) = p$，而且因为$\chi^{-1}$和$\gamma_{\mathbb{R}}$都是光滑映射，它们的复合$\gamma$也是光滑的，所以$\gamma \in \operatorname{Curve}_p (M)$。

验证这条曲线诱导的切向量就是$v$ #

我们需要证明$\frac{d\gamma}{dt}(0) = v$，也就是对任意$p$附近的坐标卡$\chi'$，都有$\frac{d(\chi' \circ \gamma)}{dt}(0) = v^{\chi'}$：

• 根据链式法则，$\chi' \circ \gamma = \chi' \circ \chi^{-1} \circ \gamma_{\mathbb{R}} = c_{\chi, \chi'} \circ \gamma_{\mathbb{R}}$，其中$c_{\chi, \chi'}$是坐标变换映射。
• 对$t$求导并代入$t=0$：
  $$\frac{d(\chi' \circ \gamma)}{dt}(0) = \mathrm{d}c_{\chi, \chi'}\left(\chi(p)\right)\left[\frac{d\gamma_{\mathbb{R}}}{dt}(0)\right]$$
• 而$\frac{d\gamma_{\mathbb{R}}}{dt}(0) = v^\chi$，再根据切向量$v$的变换性质（公式(1.2)）：
  $$\mathrm{d}c_{\chi, \chi'}\left(\chi(p)\right)\left[v^\chi\right] = v^{\chi'}$$
  这正好和切向量$v$在$\chi'$下的分量一致，所以$\frac{d\gamma}{dt}(0)$就是我们给定的切向量$v$。

补充说明 #

• 这里的关键是利用了流形的局部欧氏性——坐标卡给了我们流形局部和$\mathbb{R}^m$之间的光滑同胚，让我们可以把欧氏空间里直观的直线“移植”到流形上。
• 还要注意：诱导同一个切向量的曲线并不唯一——只要两条曲线在$t=0$处的局部导数（在任意坐标卡下）相同，它们就会诱导出同一个切向量。不过你的问题只需要存在性，上面的构造就完全足够了。

正如你更新里提到的，既然存在性成立，那你说的线程里的唯一性部分就很容易推导了——如果两条曲线诱导出同一个切向量，它们在任意坐标卡下的$t=0$处导数必然相同，反过来也成立，逻辑链就完整了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Akira