这个问题问得很有意思，先从我们熟悉的一维场景入手，再拓展到多维情况来分析：

首先得明确，一维里的因式分解能成立，核心是依赖标量乘法的逆元和解析/多项式函数的因式分解定理，但到了多维向量值函数的场景，情况要复杂得多，不过确实存在部分可实现的场景：

• 复多维解析映射的局部分解
  对于复解析映射$f: \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}^n$，如果$x_0$是$f$的孤立零点（也就是$f$在$x_0$处的雅可比矩阵$J_f(x_0)$可逆，复解析映射的孤立零点等价于雅可比非奇异），我们可以用Weierstrass准备定理来构造局部的类似分解。简单来说，在$x_0$的某个邻域内，我们能把$f$转化为“准多项式”形式，其中至少有一个分量可以表示为$(z_k - z_{0k})$乘以一个非零解析函数，再结合隐函数定理，就能得到一个可微函数$f^{*$，使得在该邻域内$f(x)=0$当且仅当$x=x_0$或者$f}(x)=0$，而且只要$J_f(x_0)\neq0$，就有$f^(x_0)\neq0$。不过这种分解是局部性的，没法像一维那样轻松推广到整个定义域。

• 实多维函数的有限制分解
  在实空间$\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$中，条件会更严格：

  • 若$f$是光滑函数且$x_0$是孤立零点（雅可比可逆），我们可以通过隐函数定理在$x_0$的小邻域内构造出满足零点等价性的$f^*$，但很难得到全局有效的分解；
  • 若$f$是多项式映射，且满足一些额外代数条件（比如$x_0$是简单零点、$f$是有限映射），可以借助代数几何的方法构造出多项式$f^{*$，使得$f(x)$的零点集恰好是${x_0}$和$f}(x)$的零点集的并集，同时$f^(x_0)\neq0$。不过这里的“分解”不是一维那样的标量乘法，而是向量值函数之间的代数关联。

• 一般可微函数的不可行性
  如果不对函数类型做限制，比如任意可微的实向量值函数，这种全局的分解是做不到的。举个简单例子：$n=2$时，$f(x,y)=(e^x - 1, e^y - 1)$，它的唯一零点是$(0,0)$，且雅可比矩阵在该点可逆。但你找不到一个全局可微的$f^: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^{2$，满足$f(x,y)=0$当且仅当$(x,y)=(0,0)$或$f}(x,y)=0$，同时$f^{*(0,0)\neq0$——因为$f$只有这一个零点，$f}*$必须没有零点，但多维向量值函数不存在像一维那样的标量因子来实现“拆分”。

总结一下：
只有在特定函数类（复解析映射、实多项式映射）的局部或满足代数条件的全局场景下，才能实现类似一维的零点拆分机制；对于任意可微的实多维函数，这种全局分解一般是不可行的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ternary