嗨，我来帮你一步步拆解这个问题，不用复杂的积分技巧或者伽马函数也能搞明白～

先回答你的小疑问：完全可以先设σ=1来计算！因为如果$X \sim N(0,\sigma^2)$，我们可以做标准化变换：令$Z = \frac{X}{\sigma}$，那么Z就是标准正态分布$N(0,1)$，而$X=\sigma Z$。这样一来，$\mathbb E[X^n] = \sigma^n \mathbb E[Z^n]$，先算出标准正态的矩，再乘上σ的n次方就得到原分布的矩了，非常方便。

问题i：计算$\mathbb E[X^{2k+1}]$（μ=0，k∈ℕ） #

这个其实不用算积分，靠函数的奇偶性就能直接得出结果：

• 首先，$x^{{2k+1}$是**奇函数**（把x换成-x，结果变成$-x}{2k+1}$）；
• 零均值正态分布的概率密度函数$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{-x2}{2\sigma^2}}$是偶函数（把x换成-x，指数部分不变，整个函数值不变）；
• 奇函数乘偶函数还是奇函数，而我们的积分区间是对称的$(-\infty, \infty)$，对称区间上奇函数的积分值为0。

所以直接得出：$\mathbb E[X^{2k+1}] = 0$，是不是超简单？

问题ii：计算$\mathbb E[X^{2k}]$（μ=0，k∈ℕ） #

这里我们先算标准正态$Z \sim N(0,1)$的矩$\mathbb E[Z^{{2k}]$，再乘$\sigma}{2k}$就行。

方法：分部积分递推 #

标准正态的2k阶矩为：
$$\mathbb E[Z^{2k}] = \int_{-\infty}^{\infty} x^{2k} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x2}{2}}dx$$

因为被积函数是偶函数（$x^{{2k}$是偶，$e}{-x²/2}$是偶，乘积还是偶），所以可以写成2倍的正半轴积分：
$$\mathbb E[Z^{2k}] = \frac{2}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{\infty} x^{2k} e^{-\frac{x2}{2}}dx$$

接下来用分部积分法找递推关系：
令$u = x^{2k-1}$，$dv = x e^{-\frac{x2}{2}}dx$，那么：

• $du = (2k-1)x^{2k-2}dx$
• $v = -e^{-\frac{x2}{2}}$

分部积分公式是$\int u dv = uv|_{a}^{b} - \int v du$，代入上下限0到∞：

• $uv|_{0}^{{\infty}$这一项：当x→∞时，$x}{2k-1}e^{-x²/2}$会趋近于0（指数衰减比多项式增长快得多）；当x=0时，这一项是0。所以这部分结果为0。

剩下的部分就是：
$$\mathbb E[Z^{2k}] = \frac{2}{\sqrt{2\pi}} \cdot (2k-1) \int_{0}^{\infty} x^{2k-2} e^{-\frac{x2}{2}}dx$$
而右边的积分其实就是$\frac{\sqrt{2\pi}}{2}\mathbb E[Z^{2k-2}]$，代入后得到递推式：
$$\mathbb E[Z^{2k}] = (2k-1) \cdot \mathbb E[Z^{2k-2}]$$

现在有了递推关系，我们从k=0开始算：

• k=0时，$\mathbb E[Z^0] = \mathbb E[1] = 1$
• k=1时，$\mathbb E[Z^2] = 1 \cdot \mathbb E[Z^0] = 1$
• k=2时，$\mathbb E[Z^4] = 3 \cdot \mathbb E[Z^2] = 3 \times 1 = 3$
• k=3时，$\mathbb E[Z^6] = 5 \cdot \mathbb E[Z^4] = 5 \times 3 = 15$
  ...

可以总结出规律：$\mathbb E[Z^{2k}] = (2k-1)!!$，这里的$!!$是双阶乘，指从1开始的连续奇数相乘（比如5!!=5×3×1）。

如果不习惯双阶乘，也可以写成阶乘的形式：$(2k-1)!! = \frac{(2k)!}{2^k k!}$，两种形式等价。

最后回到原分布$X \sim N(0,\sigma^2)$，因为$X=\sigma Z$，所以：
$$\mathbb E[X^{2k}] = \sigma^{2k} \cdot (2k-1)!! = \sigma^{2k} \cdot \frac{(2k)!}{2^k k!}$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MangoTango