嘿，这个问题问到点子上了！我来一步步给你拆解清楚这里的关键逻辑～

首先得纠正一个容易混淆的小细节：你给出的阻力项表达式$-b(\hat{x}+\hat{y})$其实是不完整的——线性阻力（与速度大小成正比的阻力）的正确形式应该是和速度矢量方向相反、大小成正比，也就是：
$$\vec{F}_D = -b \vec{v}$$
而速度矢量$\vec{v}$本身就是由x、y方向的瞬时速度分量组成的：
$$\vec{v} = x'(t)\hat{x} + y'(t)\hat{y}$$
这里的$x'(t)$就是x方向位移对时间的一阶导数（瞬时速度），$y'(t)$同理是y方向的瞬时速度。

现在把完整的阻力项代入牛顿第二定律的矢量方程：
$$m\vec{a} = \vec{F}_G + \vec{F}_D$$
加速度$\vec{a}$也是矢量，对应位移的二阶导数：$\vec{a} = x''(t)\hat{x} + y''(t)\hat{y}$；你方程里的重力项是$m g \hat{y}$，说明你取的坐标系是向下为$\hat{y}$正方向（通常我们会取向上为正，但这里按你的设定来推导）。

把所有矢量展开后，方程就变成：
$$m\left(x''(t)\hat{x} + y''(t)\hat{y}\right) = m g \hat{y} - b\left(x'(t)\hat{x} + y'(t)\hat{y}\right)$$

接下来就是矢量方程的分量拆分——因为$\hat{x}$和$\hat{y}$是互相垂直的单位向量，方程两边$\hat{x}$方向的分量必须相等，$\hat{y}$方向的分量也必须相等：

• x方向分量：
  左边只有$m x''(t)$，右边只有$-b x'(t)$，所以：
  $$m x''(t) = -b x'(t)$$
  两边除以质量$m$，再代入你定义的$k = \frac{b}{m}$，就得到你看到的：
  $$x''(t) = -k x'(t)$$

• y方向分量：
  左边是$m y''(t)$，右边是$m g - b y'(t)$，所以：
  $$m y''(t) = m g - b y'(t)$$
  同样除以$m$并代入$k = \frac{b}{m}$，就得到：
  $$y''(t) = g - k y'(t)$$
  这里和你给出的$y''(t) = -g -k y'(t)$有差异，其实是坐标系方向的问题：如果你的坐标系是向上为$\hat{y}$正方向，那重力项就会是$-m g \hat{y}$，代入后拆分出来的y方向方程就是：
  $$y''(t) = -g -k y'(t)$$
  这就和你给出的完全一致啦！

总结一下，你疑惑的“从$\hat{x}$、$\hat{y}$到$x'(t)$、$y'(t)$”的核心，就是阻力项本质是和速度矢量挂钩的，而速度矢量本身就是以$x'(t)$、$y'(t)$为分量，$\hat{x}$、$\hat{y}$为方向单位向量构成的。把矢量形式展开后按方向拆分，再做简单的代数整理，就能得到分离后的x、y方向微分方程啦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者DennisM