对称群$S_{15}$中15阶子群的正规化子$N_G(H)$计算及共轭子群数量求解

阿华AIGC实验室

2026-4-23

嘿，我来一步步帮你拆解这个问题～首先咱们先理清楚已知条件和核心思路：

你已经用到了轨道-稳定化子定理，这是关键！共轭子群的数量等于$G$的阶除以$H$的正规化子$N_G(H)$的阶，也就是$|\text{Conj}(H)| = [G:N_G(H)] = |S_{15}| / |N_G(H)|$。所以现在的核心就是求$|N_G(H)|$，而首先得明确$H$的结构——因为$|H|=15=3×5$（两个互素的素数），根据有限群的结构定理，$H$一定是循环群（Sylow 3-子群和Sylow 5-子群都是唯一的，它们的直积就是循环群），所以$H$可以由一个15阶元生成。

不过$S_{15}$里的15阶元有两种不同的循环类型，对应的$H$也分两种情况，咱们分别讨论：

情况1：$H$由一个15-循环生成（循环类型为$(15)$）

设$H=\langle \alpha \rangle$，其中$\alpha$是$S_{15}$中的15-循环。

计算$N_G(H)$：

正规化子$N_G(H)$是所有满足$\sigma H \sigma^{-1}=H$的置换$\sigma \in S_{15}$。对于循环群$H$，这等价于$\sigma \alpha \sigma^{-1} \in H$（因为$H$由$\alpha$生成）。

首先，$\alpha$的中心化子$C_G(\alpha)$：所有与$\alpha$交换的置换，由于$\alpha$是15-循环，只有$\alpha$的幂次能和它交换（因为任何与15-循环交换的置换都必须是这个循环的幂次），所以$|C_G(\alpha)|=15$。
然后，根据群论中的结论：$N_G(H)/C_G(H) \cong \text{Aut}(H)$，而循环群$\mathbb{Z}{15}$的自同构群是$\mathbb{Z}{15}^*$（模15的乘法群），阶为欧拉函数$\varphi(15)=\varphi(3×5)=2×4=8$。

所以$|N_G(H)|=|C_G(H)|×|\text{Aut}(H)|=15×8=120$。

共轭子群数量：

代入轨道-稳定化子定理：
$$|\text{Conj}(H)| = \frac{|S_{15}|}{|N_G(H)|} = \frac{15!}{120}$$

情况2：$H$由一个5-循环和一个不相交3-循环的乘积生成（循环类型为$(5,3,1^7)$）

设$H=\langle \alpha \rangle$，其中$\alpha=\beta\gamma$，$\beta$是5-循环，$\gamma$是3-循环，且$\beta$和$\gamma$的支撑集不相交（剩下7个元素是不动点）。

计算$N_G(H)$：

$\sigma \in N_G(H)$当且仅当$\sigma \alpha \sigma^{-1} \in H$，也就是$\sigma \beta \sigma^{-1} \sigma \gamma \sigma^{-1} = \alpha^m = \beta^m \gamma^{m$（$m$与15互素，因为$\alpha}m$必须是$H$的生成元）。这意味着：

$\sigma$必须把$\beta$的支撑集（5个元素）映射到自身，且$\sigma$在这个子集上的限制属于$N_{S_5}(\langle \beta \rangle)$——这个正规化子的阶是$5×\varphi(5)=5×4=20$（和情况1的逻辑一样，5-循环的正规化子阶为$n×\varphi(n)$）。
$\sigma$必须把$\gamma$的支撑集（3个元素）映射到自身，且$\sigma$在这个子集上的限制属于$N_{S_3}(\langle \gamma \rangle)$——阶为$3×\varphi(3)=3×2=6$。
对于剩下的7个不动点元素，$\sigma$可以任意置换它们（因为这些元素不在$\alpha$的支撑集里，置换它们不影响$\sigma \alpha \sigma^{-1}$是否属于$H$），这部分的置换群是$S_7$，阶为$7!$。

所以$|N_G(H)|=20×6×7!=120×7!$。