嘿，这个问题问到点子上了——毕竟随机变量版本的泰勒展开和常数情况确实有区别，我来给你拆解清楚：

结论先行：这个泰勒展开式是成立的，哪怕X是随机变量，只要满足题目里的条件（$X_n \xrightarrow{p} X$且$X \geq 1$），依概率意义下的展开依然成立。

具体推导逻辑： #

我们先回忆几个核心概念：

• 函数$f(x) = \frac{1}{x}$在$x > 0$的区间上是二阶连续可微的，一阶导数$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$，二阶导数$f''(x) = \frac{2}{x^3}$。
• 大$O_p$的定义：如果$Y_n = O_p(Z_n)$，意味着对任意$\varepsilon > 0$，存在正数$M$和正整数$N$，当$n > N$时，$P\left( \left| \frac{Y_n}{Z_n} \right| > M \right) < \varepsilon$，简单说就是$\frac{Y_n}{Z_n}$依概率有界。

接下来对$f(X_n)$在$X$处做逐样本的泰勒展开：
对于每个样本点$\omega$，当$X_n(\omega)$足够接近$X(\omega)$时（而依概率收敛保证了“足够接近”是大概率事件），有：
$$
\frac{1}{X_n(\omega)} = \frac{1}{X(\omega)} - \frac{1}{X(\omega)^2}(X_n(\omega) - X(\omega)) + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\xi_n(\omega)^3} (X_n(\omega) - X(\omega))^2
$$
这里$\xi_n(\omega)$是介于$X(\omega)$和$X_n(\omega)$之间的某个值。

现在看余项部分：因为$X \geq 1$，且$X_n \xrightarrow{p} X$，我们可以取$\delta = \frac{1}{2}$，那么当$n$足够大时，$P\left( |X_n - X| < \delta \right) > 1 - \varepsilon$，此时$\xi_n(\omega) \geq \min(X(\omega), X_n(\omega)) \geq 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$，对应的二阶导数绝对值$\left| \frac{2}{\xi_n(\omega)^3} \right| \leq \frac{2}{(1/2)^3} = 16$，是个有界值。

这就意味着余项$\frac{1}{\xi_n^3}(X_n - X)^2$除以$|X_n - X|^{2$的绝对值是$\frac{1}{\xi_n}3}$，它依概率有界，完全符合$O_p(|X_n - X|^2)$的定义。

为啥普通delta法不影响这里的结论？ #

你提到普通delta法针对的是$X$为常数的情况，用来推导渐近分布，但我们这里不需要求分布，只是在依概率收敛的框架下做泰勒展开——只要函数足够光滑，且$X_n$依概率收敛到的随机变量$X$落在函数的光滑区域内（这里$X \geq 1$，避开了$f(x)$的奇点$x=0$），这个展开就依然成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者WaitedLeastSquare