首先得说，你前面的操作完全没问题：把原方程整理成标准三次形式 x³ - 28x² + 180 = 0，然后用有理根定理排查所有可能的有理根，结果确实没有符合条件的——这就意味着这个三次方程没法通过常规的因式分解（比如分组拆项、提公因式这类技巧）来得到简洁的精确解，只能通过通用三次方程解法或者数值近似来处理。

如果一定要手算的话，有两个方向可以走：

1. 用卡尔达诺公式求精确根式解 #

这是通用的三次方程求根方法，不过计算过程相当繁琐，结果也会非常复杂：

• 第一步先把三次方程转化为缺二次项的简化三次方程：对于一般式 ax³ + bx² + cx + d = 0，做变量替换 x = y - b/(3a)。你的方程里 a=1，b=-28，所以替换成 x = y + 28/3。
• 代入原方程后会得到 y³ + py + q = 0 的形式，计算其中的p和q：
  • p = c - b²/(3a) = 0 - (28)²/3 = -784/3
  • q = d + 2b³/(27a²) = 180 + 2*(28)³/27 = 48764/27
• 接下来计算判别式 Δ = (q/2)² + (p/3)³，代入数值后会发现Δ是正数，说明方程有一个实根和两个共轭复根。
• 最后用卡尔达诺公式计算实根：y = ∛(-q/2 + √Δ) + ∛(-q/2 - √Δ)，再把y转换回x（x = y + 28/3）就能得到精确的根式解。不过这个解全是嵌套的根号，手算很容易出错，实际意义不大。

2. 用牛顿迭代法求近似数值解 #

如果只需要实数解的近似值，这个方法手算起来更实用，收敛速度也快：

• 先确定实根的大致范围：代入x=27，f(27)=27³-28*27²+180=-549；代入x=28，f(28)=28³-28*28²+180=180，所以实根在(27,28)之间。
• 牛顿迭代公式是：x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)，其中 f(x)=x³-28x²+180，导数 f'(x)=3x²-56x。
• 取初始值x₀=27.5，逐步迭代：
  • 第一次迭代：f(27.5)=-198.125，f'(27.5)=728.75，算出x₁≈27.5 + 198.125/728.75≈27.7719
  • 第二次迭代：计算f(27.7719)≈4.07，f'(27.7719)≈758.58，算出x₂≈27.7719 - 4.07/758.58≈27.7665
  • 第三次迭代：f(27.7665)≈-0.05，已经非常接近0了，再迭代一次就能得到更精确的近似值（比如≈27.7666），这个结果和Mathway给出的小数解基本一致。

总结一下：如果非要手算，要么用卡尔达诺公式得到复杂的精确根式解，要么用牛顿迭代法得到实用的近似数值解。另外方程的另外两个根是复根，同样可以用卡尔达诺公式求出，但如果只需要实根的话，牛顿迭代就足够了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者George An