嗨，这个方程其实是二维连续性方程（或二维散度为零的方程），它属于更广义的散度型偏微分方程的特例，本质上描述的是向量场$(f(x,y), g(x,y))$的散度为0，也就是说这个向量场是无源场。

至于求解方法，这里给你几个实用的思路：

• 最经典的构造通解的方法是利用势函数（流函数）：在单连通区域里，散度为零的二维向量场一定可以表示成某个标量函数的旋度对偶形式。具体来说，存在一个光滑函数$\psi(x,y)$，使得$f = \frac{\partial \psi}{\partial y}$，$g = -\frac{\partial \psi}{\partial x}$。你可以把这两个式子代入原方程验证，会发现刚好满足散度为零的条件。也就是说，任意一个光滑的$\psi$，通过求这两个偏导就能得到一组对应的$f$和$g$，这是能覆盖所有光滑解的方法。
• 如果是在多连通区域，可能需要考虑拓扑上的一些修正项，但单连通区域里上面的方法完全够用。
• 另外也可以试试分离变量法，假设$f$和$g$能写成关于$x$和$y$的分离形式（比如$f(x,y)=X(x)Y(y)$），代入方程后转化为常微分方程求解，但这种方法只能得到部分特解，不如势函数方法得到的解全面。

WolframAlpha有时候对这类基础但没有特别专属命名的方程识别确实不太灵光，毕竟它更偏向直接计算而非理论归类~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ameya