我最近在计算积分$\int \frac{dx}{1+\sqrt{\tan x}}$时，先尝试用换元法去掉根号：令$u^2 = \tan(x)$，推导得出$\sec^2(x) = 1+u^4$，于是原积分转化为：

$$\int \frac{2u}{(1+u)(1+u^4)} du$$

之后我用部分分式分解的方法，把这个积分拆成了两个部分：

$$\int \frac{-1}{1+u} du + \int \frac{u^3-u2+u+1}{1+u^4} du$$

第一个积分处理起来没什么问题，但第二个积分我只能把分子拆成单独的项，进一步拆成三个积分：

$$\int \frac{u^3}{1+u4}du +\int \frac{u}{1+u^4}du + \int \frac{1-u^2}{1+u4}du $$

前两个积分我都顺利解出来了，可最后这个$\int \frac{1-u^2}{1+u4}du$我实在找不到思路继续推进，有没有大佬能指点一下该怎么处理这个积分呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Shooting Stars